Sferă topologie modele matematice
Italiană: Andrea Sambusetti, universitatea din Roma
Clicca aici pentru a afișa desenul modelului în scară 1:1, de tipărit și tăiat.
Făcând copii ale patru exemplare pe carton Bristol de două culori diferite, veți putea construi singuri modelul, urmărind indicațiile de montare.
Cu siguranță ați văzut un obiect ciudat rotindu-se neîncetat în partea stângă a paginii principale a acestui site. Ce este?
Într-o zi, când voi găsi timpul, voi instala pe acest site o descriere a răsturnării sferei, așa cum o ilustrasem în numărul revistei Pour la Science din ianuarie 1979, adică... acum 22 de ani! Totul va necesita multe detalii și o introducere. Ce înseamnă „răsturnarea unei sfere”? O sferă nu are același sens pentru omul obișnuit și pentru matematicianul-geometru. Pentru omul obișnuit, nu este altceva decât locul geometric al punctelor din spațiu situate la o distanță R de un punct O fixat. Un geometru va continua să numească „sferă” și un obiect care corespunde unei „sfere deformate”, cum ar fi o cartof. Pentru a înțelege mai precis aceste concepte, obțineți CD-ul Lanturlu care conține comicul „Topologicon”. Dar matematicianul merge și mai departe. O suprafață se numește „regulată” atunci când în fiecare dintre punctele sale se poate defini un plan tangent. Acest lucru permite deja să gândim la o infinitate de deformări regulate posibile ale sferei, într-o infinitate de forme posibile ale unui cartof, variind în plus în mod arbitrar aria acestei suprafețe. Spus acest lucru, în universul nostru fizic, o persoană care ar încerca să răsturne sfera (să aducă deci suprafața interioară în exterior) s-ar confrunta cu imposibilitatea de a face ca suprafața sa să se traverseze singură. Când se presupune această ipoteză, adică se interzice ca suprafața să se traverseze pe ea însăși sau chiar doar să se atingă, matematicianul vorbește despre încorporarea sferei S2. Dar un matematician se permite totul. O sferă este, pentru el, un obiect „virtual” și nu material, în care traversarea unei părți este considerată posibilă. Secvența de desene de mai jos arată o sferă care se traversează pe ea însăși. O reprezentare de acest tip, care admite deci auto-intersecții, se numește o „imergere”.
O imergere are deci un set de auto-intersecții (aici este vorba de o curbă circulară simplă). Totuși, planul tangent trebuie să varie continuu. Având în vedere acest lucru, când privim desenul de mai sus, se vede clar că operația duce o parte a suprafeței interioare (reprezentată în verde) în exterior. Pentru a finaliza răsturnarea, ar trebui să „strângem” această felie echinocală. Aici pare să existe un problem: această strângere ar distruge continuitatea planului tangent, iar această transformare ar conține deci un pas care nu este o imergere.
Într-o zi, un matematician american, Stephen Smale, a demonstrat că „sfera S2 are o singură clasă de imergere”. Această frază enigmatică avea ca consecință faptul că ar fi trebuit să se poată trece, printr-o transformare care conține doar imergere reale, de la sfera „standard” la reprezentarea sa „antipodală”, adică în care fiecare punct este schimbat cu antipodalul său: în termeni simpli... o sferă răsturnată. Raoul Bott era șeful lui Smale. Deși demonstrația formală a acestui fapt părea corectă, nimeni nu părea în stare să realizeze concret această operațiune de răsturnare. Bott continua să întrebe lui Smale: „arătă-mi cum ai face-o”; la care Smale, cunoscut pentru sinceritatea sa, răspundea: „nu am nicio idee”. Smale a primit ulterior Medalia Fields, echivalentul Premiului Nobel pentru matematică. Deși, vă întrebați poate de ce nu există Premiul Nobel pentru matematică. Răspunsul este simplu: soția lui a fugit cu un matematician.
Lucrurile au rămas așa timp de mulți ani, până când un matematician american, Anthony Phillips, a publicat în 1967, în Scientific American, o primă versiune a acestei răsturnări, extrem de complicată. A doua a fost inventată la începutul anilor 70 de către matematicianul francez (nevăzător) Bernard Morin. Am fost primul care am desenat secvența de transformări, care va fi subiectul, cum v-am anunțat, unui articol viitor pe acest site, de asemenea bine plin. Însă, totul ne duce la o considerație. Suprafețele pot fi reprezentate sub formă poliedrică. Un cub sau un tetraedru pot fi considerate reprezentări poliedrice ale sferei, în sensul că aceste obiecte au aceeași topologie. În acest punct, consultați Topologiconul meu. De asemenea, se înțelege că, dacă este posibil să răsturnăm sfera, va fi la fel de posibil să răsturnăm un cub. Transformarea inventată de Bernard Morin (pe care am ilustrat-o în articolul din ianuarie 1979 din Pour la Science) trece printr-un model central. Există o simetrie în această secvență. Este cea pe care o numesc „model central cu patru urechi”. Anticipăm lucruri. Cu toate acestea, așa cum sfera se pretează la reprezentări poliedrice, la fel se întâmplă și cu pașii următori ai acestei transformări. Ceea ce vedeți rotindu-se în pagina mea principală este versiunea poliedrică a modelului central al răsturnării sferei, pe care l-am inventat cu o zece de ani în urmă. Interesul acestor modele poliedrice constă în faptul că pot fi construite cu suprafețe plane. Pot fi, de asemenea, construite cu hârtie și foarfecă. Aruncați o privire la desenul de mai jos (mulțumesc, între paranteze, prietenului meu Christophe Tardy, care a produs elementele de măsură potrivită).
Este un plan de montaj, a cărui vedere generală aveți aici. Dar pentru a-l imprima, este preferabil să treceți la pagina découpage. Imprimați-o. Apoi, înzestrat cu acest exemplar tipărit pe hârtia obișnuită a imprimantei dvs., faceți patru copii identice, două pe carton Bristol verde și două galbene. Veți putea, prin intermediul acestor foi de tăiat, să construiți modelul central al răsturnării cubului.
Pe elementele de tăiat sunt perechi de litere: a, b, c, d, e, f etc. Este suficient să îndoiți hârtia, aducând literele identice să se suprapună, apoi să fixați fețele cu bandă adezivă transparentă. Desenele care urmează arată modul de montare al unuia dintre cele patru piese. Iată cum trebuie să începeți să îndoiți una dintre cele patru elemente:
Iată două dintre cele patru elemente, văzute din unghiuri diferite.
Acestea se așează astfel încât să dea naștere unui obiect cu o simetrie de ordin patru, unde se alternează piese verzi și galbene. Pentru a-l vedea în 3D, aruncați o privire la realizarea lui Tardy, în secțiunea „realitate virtuală”. Modelul central este montat și chiar realizat în „vrml” în această secțiune. Iată-l redat din diverse unghiuri:
Nu se poate spune că un punct corespunde „sus” și celălalt „jos”, deoarece aceste denumiri sunt perfect arbitrare. În imaginea din stânga, punctul „central” corespunde punctului „dublu” (unde două părți se intersectează) al modelului central Morin, în timp ce punctul central din imaginea din dreapta corespunde punctului „patru” al aceluiași model (unde patru părți se intersectează). Am trebuit să orientez obiectul cu mare atenție, astfel încât imaginea din stânga să nu evocă o svastică. În afară de aceasta, din punct de vedere arhitectural, această reprezentare poliedrică a modelului central Morin ar fi putut constitui un proiect frumos pentru Casa Culturii Naționale Socialiste.
O ultimă observație: nu există o reprezentare poliedrică bună a răsturnării sferei (sau a cubului). Prin „bună” înțeleg o succesiune de modele suficient de explicite, care să poată fi descrise sub forma de foi de tăiat într-un mod relativ ușor, ca modelul de mai sus. Ar trebui făcut un studiu în această direcție, la îndemâna oricui, chiar și a unui ne-matematician, de exemplu un sculptor. Vor fi mai mult de douăzeci de ani de când eram profesor de sculptură la Ecole des Beaux-Arts din Aix en Provence, în timpul în care era director prietenul meu drag Jacques Boullier. Este în acele spații că a apărut prima reprezentare meridiană a suprafeței Boy prin elipse, cheia construirii primei ecuații implicite date de Apéry. Trebuie să spun că chiar atunci mă miram de imaginația geometrică a studenților de artă, care depășea adesea cea a... geometrilor.
Contor instalat pe 31 decembrie 2001. Numărul de conexiuni :
Torna la pagina Noi Pagina principală
Imagini
