Model central (poliedric) al răsturnării cubului
Modelul Central al Răsturnării Cubului
31 dec 2001
Toți ați văzut cum un obiect ciudat se rotește neîncetat în partea stângă a paginii de start a site-ului. De ce este vorba?
Într-o zi, când voi avea timp, voi instala pe site o descriere a răsturnării sferei, așa cum o ilustrasem în numărul de ianuarie 1979 al revistei Pour la science, adică acum... 22 de ani. Toate acestea ar cere desigur multe detalii și o introducere. Ce înseamnă să răstorni o sferă? O sferă nu are aceeași semnificație pentru omul de rând și pentru matematicianul-geometru. Pentru omul de rând, aceasta este definită ca fiind, într-un spațiu tridimensional, locul punctelor situate la o distanță R de un punct fix O din acel spațiu. Un geometru va continua să numească „sferă” un obiect care ar corespunde unei „sfere deformate”, o felie de „cartof”. Pentru a înțelege aceste concepte mai precis, obțineți CD-ul Lanturlu care conține banda desenată „Le Topologicon”. Dar matematicianul merge mai departe. Când o suprafață este numită „regulată”, în fiecare punct al ei se poate defini un plan tangent. Acest lucru permite deja să se considere o infinitate de deformații ale „sferei de pornire” într-o infinitate de cartofi, atâta timp cât aria suprafeței poate fi orice. Totuși, într-un „univers fizic”, persoana care deformează această sferă se va confrunta cu imposibilitatea de a o face să se taie singură. Dacă aceste tăieri sau chiar contactele sunt interzise, vorbim atunci despre imersiuni ale sferei S2. Dar un matematician își permite orice. O sferă este, pentru el, un obiect „virtual”, unde tăierile de suprafețe devin posibile. Secvența de desene de mai jos arată o sferă care s-a „autotăiat”. O numim atunci o reprezentare a sferei o imersiune.
O imersiune are un set de auto-intersecții sau intersecții proprii (aici o curbă circulară simplă). Planul tangent trebuie să varie continuu. Totuși, privind desenele de mai sus, observăm că operația rotește o parte (reprezentată prin culoarea verde) a interiorului sferei spre exterior. Pentru a finaliza o astfel de răsturnare, ar fi necesar să „apăsăm” această felie echatorială. Acest lucru pare a priori problematic. Acest apăsare ar rupe continuitatea planului tangent. Operația ar include deci o etapă care nu ar fi o imersiune.
Într-o zi, un matematician american, Stephen Smale, a demonstrat că „sfera S2 are o singură clasă de imersiune”. Consecința acestei fraze enigmatice era că se putea realiza o secvență de imersiuni ale sferei care să permită trecerea de la „sfera standard” la reprezentarea sa „antipodală”, adică unde toate punctele au fost înlocuite cu antipodele lor. În termeni simpli... o sferă răsturnată, față de spate. Raoul Bott era șeful lui Smale. În ciuda faptului că demonstrația lui Smale, pur formală, părea impecabilă, nimeni nu înțelegea cum ar fi putut fi realizată această operație. Bott îi spunea mereu lui Smale: „Arată-mi cum ai vrea să procedezi”, la care Smale, cu celebra lui părere, răspundea: „Nu am nicio idee”. Smale a primit ulterior medalia Fields, echivalentul Premiului Nobel pentru matematică. În trecere, vă întrebați poate de ce Nobel nu a vrut niciodată să creeze un premiu Nobel pentru matematică. Răspunsul este simplu: soția lui a plecat cu un matematician.
Lucrurile au rămas în același stat în mai multe ani, până când un matematician american, Anthony Phillips, a publicat în 1967 în Scientific American o primă versiune a acestei răsturnări, extrem de complicată. A doua a fost inventată la începutul anilor 70 de către matematicianul francez (orb) Bernard Morin. Eu am fost primul care a desenat această succesiune de transformări, despre care am spus deja că va fi subiectul unui articol viitor pe site, destul de amplu într-adevăr. În orice caz, aceasta ne duce la o concluzie secundară. Suprafețele pot fi reprezentate poliedric. Un cub sau un tetraedru pot fi considerate reprezentări poliedrice ale sferei, în măsura în care aceste obiecte au aceeași topologie. În acest sens, consultați BD-ul meu „Le Topologicon”. De asemenea, se înțelege că dacă este posibil să răstorni o sferă, este posibil și să răstorni un cub. Transformarea inventată de Bernard Morin (pe care am ilustrat-o în articolul din ianuarie 1979 al revistei Pour la science) trece printr-un model central. Există o simetrie în această secvență. Asta se numește „modelul central cu patru urechi”. Din nou, anticipez. Dar la fel cum sfera poate fi reprezentată poliedric, la fel se poate face și pentru etapele succesive ale acestor transformări. Obiectul pe care îl vedeți rotindu-se pe pagina mea de start este astfel versiunea poliedrică a modelului central al răsturnării sferei, un model pe care l-am inventat acum o ziua de ani. Interesul acestor modele poliedrice este că le putem construi cu suprafețe plane. Le putem chiar asambla după tăieturi. Aruncați o privire la desenul de mai jos (îi mulțumesc în trecere prietenului meu Christophe Tardy, care a produs elementele corect cotate).
**Acesta este un desen care ar ieși pe imprimantă în format mic, inutilizabil. **
De imprimat această figură pe o foaie A4 Trebuie să faceți patru copii pe hârtie de tip A4, două foi dintr-o culoare, două foi din alta.
Este o tăietură, a cărei vedere generală o aveți aici. Dar pentru a o imprima, este mai bine să treceți la pagina tăietură. Imprimați-o. Apoi, având acest exemplar imprimat pe hârtia obișnuită de la imprimantă, duceți-vă la un fotocopiator și realizați patru copii identice ale acestui desen, două pe foi de carton verde și două pe foi galbene. Veți putea, cu ajutorul acestei tăieturi, să construiți modelul central al răsturnării cubului.
Pe aceste elemente tăiate, aveți perechi de litere: a, b, c, d, e, f etc. Trebuie doar să faceți îndoiturile, aducând literele identice în coincidență, apoi să asamblați aceste fețe cu bandă adezivă transparentă. Desenele care urmează arată cum se montează unul dintre cele patru elemente. Iată cum trebuie să începeți îndoirea unuia dintre cele patru elemente:
Iată două dintre cele patru elemente, văzute din unghiuri diferite.
Acestea se asamblează apoi pentru a forma un obiect cu simetrie de ordin patru, alternând elemente verzi și galbene. Pentru a vedea acest lucru în 3D, aruncați o privire la realizările domnului Tardy, în „realitate virtuală”. Modelul central complet asamblat este, de asemenea, disponibil în format „vrml” în această secțiune. Iată acest obiect, văzut din unghiuri diferite:
Nu se poate spune că o vedere corespunde „deasupra” și cealaltă „de jos”, deoarece aceste denumiri ar fi complet arbitrare. În vizualizarea din stânga, punctul „central” corespunde punctului „dublu” (unde două suprafețe se intersectează) al modelului central Morin, în timp ce punctul central din dreapta este echivalent cu punctul „patru” al aceluiași model (unde patru suprafețe se intersectează). Am orientat cu grijă obiectul, astfel încât imaginea din stânga să nu evocă o cruce greacă. Altfel, din punct de vedere arhitectural, această reprezentare poliedrică a modelului central Morin ar fi putut constitui un proiect excelent pentru o casă a culturii național-socialiste.
Ultimă vedere:
O ultimă observație: nu există o reprezentare poliedrică bună a răsturnării sferei (sau a răsturnării cubului). Prin „bună” înțelegem o succesiune de modele suficient de explicite care pot fi montate sub formă de tăieturi relativ ușor, cum este modelul de mai sus. O cercetare ar trebui făcută în acest sens, care este la îndemâna oricui, eventual chiar a unui ne-matematician, un sculptor, de exemplu. De acum mai mult de douăzeci de ani am fost profesor de sculptură la Școala de Arte Frumoase din Aix-en-Provence, în perioada în care aceasta era încă condusă de prietenul meu excelent Jacques Boullier. Este în acele spații că a apărut prima reprezentare meridiană a suprafeței Boy folosind elipse, cheia construcției primei ecuații implicite de către Apéry. Trebuie să spun că în acea vreme mă surprindea mereu imaginația geometrică a studenților de artă, care depășea adesea chiar și cea a... geometrilor.
Contor inițializat pe 31 decembrie 2001. Numărul de conexiuni :
Realitate virtuală Înapoi la Noutăți
Imagini
