Model central (poliedric) al răsturnării cubului
Modelul central al răsturnării cubului
31 decembrie 2001
Toți ați văzut cum se rotește, fără încetare, un obiect ciudat în partea stângă a paginii de pornire a site-ului. Ce este?
Într-o zi, când voi avea timp, voi instala pe site o descriere a răsturnării sferei, așa cum o ilustrasem în numărul de ianuarie 1979 al revistei Pour la science, adică acum... 22 de ani. Toate acestea ar cere desigur multe detalii și o introducere. Ce înseamnă să răstorni o sferă? O sferă nu are aceeași semnificație pentru omul de rând și pentru matematicianul-geometru. Pentru omul de rând, aceasta este definită ca fiind, într-un spațiu tridimensional, locul punctelor situate la o distanță R față de un punct fix O al acestuia. Un geometru va continua să numească „sferă” un obiect care ar corespunde unei „sfere deformate”, o felie de „cartof”. Pentru a înțelege aceste concepte mai precis, obțineți CD-ul Lanturlu care conține banda desenată „Le Topologicon”. Dar matematicianul merge mai departe. Când o suprafață este numită „regulată”, în fiecare punct al ei se poate defini un plan tangent. Acest lucru permite deja să se imagineze o infinitate de deformații ale „sferei inițiale” într-o infinitate de cartofi, atâta timp cât aria acestei suprafețe poate fi oricât de diferită. Totuși, într-un „univers fizic”, persoana care deformează această sferă se va confrunta cu imposibilitatea ca aceasta să se traverseze singură. Dacă aceste traversări sau chiar contactele sunt interzise, vorbim atunci despre imersiuni ale sferei S2. Dar un matematician își permite orice. O sferă este, pentru el, un obiect „virtual”, unde traversările de suprafețe devin posibile. Secvența de desene de mai jos arată o sferă care s-a „traversat singură”. O astfel de reprezentare a sferei se numește imersiune.
O imersiune are un set de intersecții auto sau de intersecții interne (aici o curbă circulară simplă). Planul tangent trebuie să varie continuu. Totuși, dacă privim desenele de mai sus, observăm că operația rotește o anumită parte (reprezentată prin culoarea verde) a interiorului sferei spre exterior. Pentru a finaliza o astfel de răsturnare, ar trebui să „apăsăm” această felie echinocală. Acest lucru pare a priori problematic. Această apăsare ar rupe continuitatea planului tangent. Operația ar include deci o etapă care nu ar fi o imersiune.
Într-o zi, un matematician american, Stephen Smale, a demonstrat că „sfera S2 are o singură clasă de imersiune”. Consecința acestei propoziții enigmatice era că se putea realiza o secvență de imersiuni ale sferei care să permită trecerea de la „sfera standard” la reprezentarea sa „antipodală”, adică în care toate punctele au fost înlocuite cu antipodele lor. În termeni simpli... o sferă răsturnată, față-opusă. Raoul Bott era șeful lui Smale. În ciuda faptului că demonstrația acestuia, pur formală, părea fără defecte, nimeni nu înțelegea cum ar fi putut fi realizată operația. Bott îi spunea mereu lui Smale: „Arată-mi cum ai vrea să procedezi”, la care Smale, cu cunoscutul său păr pe limbă, răspundea: „Nu am nicio idee”. Smale a primit ulterior medalie Fields, echivalentul premiului Nobel pentru matematică. În trecere, vă întrebați poate de ce Nobel nu a vrut niciodată să creeze un premiu Nobel pentru matematică. Răspunsul este simplu: soția lui a plecat cu un matematician.
Lucrurile au rămas în același statut timp de mulți ani, până când un matematician american, Anthony Phillips, a publicat în 1967 în Scientific American o primă variantă a acestei răsturnări, extrem de complicată. A doua variantă a fost inventată la începutul anilor 70 de către matematicianul francez (orb) Bernard Morin. Eu am fost primul care a desenat această succesiune de transformări, care, cum am spus deja, va fi subiectul unui articol viitor pe site, destul de amplu într-adevăr. În orice caz, aceasta ne duce la o concluzie secundară. Suprafețele pot fi reprezentate în mod poliedric. Un cub sau un tetraedru pot fi considerate reprezentări poliedrice ale sferei, în măsura în care aceste obiecte au aceeași topologie. În acest sens, consultați BD-ul meu „Le Topologicon”. De asemenea, se înțelege că dacă este posibil să răstorni o sferă, este posibil și să răstorni un cub. Transformarea inventată de Bernard Morin (pe care am ilustrat-o în articolul din ianuarie 1979 al revistei Pour la science) trece printr-un model central. Există o simetrie în această secvență. Acest lucru se numește „modelul central cu patru urechi”. Încă o dată, anticipez. Dar la fel cum sfera poate fi reprezentată poliedric, la fel pot fi reprezentate și etapele succesive ale acestor transformări. Obiectul pe care îl vezi rotindu-se pe pagina mea de pornire este astfel versiunea poliedrică a modelului central al răsturnării sferei, un model pe care l-am inventat acum o zi de ani. Interesul acestor modele poliedrice este că le poți construi cu suprafețe plane. Poți chiar să le asamblezi după tăieturi. Aruncă o privire la desenul de mai jos (îi mulțumesc în trecere prietenului meu Christophe Tardy, care a produs elementele corect cotate).
**Acesta este un desen care ar ieși pe imprimantă în format mic, inutilizabil. **
De imprimat această figură pe o foaie A4 Trebuie să faceți patru copii pe hârtie groasă A4, două foi dintr-o culoare, două foi din alta.
Este o tăietură a cărei viziune generală o aveți aici. Dar pentru a o imprima, este mai bine să treceți la pagina tăiere. Imprimați-o. Apoi, având acest exemplar imprimat pe hârtia obișnuită a imprimantei, mergeți la un fotocopiator și realizați patru copii identice ale acestui desen, două pe foi de carton verde și două pe foi galbene. Veți putea, cu ajutorul acestei tăieturi, să construiți modelul central al răsturnării cubului.
Pe aceste elemente tăiate aveți perechi de litere: a, b, c, d, e, f etc. Trebuie doar să faceți îndoirile aducând literele identice în coincidență, apoi să asamblați aceste fețe cu bandă adezivă transparentă. Desenele care urmează arată modul de montare a unuia dintre cele patru elemente. Iată cum trebuie să începeți îndoirea unuia dintre cele patru elemente:
Iată două dintre cele patru elemente, văzute din unghiuri diferite.
Acestea se asamblează apoi pentru a forma un obiect cu simetrie de ordin patru sau alternând elemente verzi și galbene. Pentru a vedea acest lucru în 3D, aruncați o privire la realizările domnului Tardy, în „realitate virtuală”. Modelul central complet asamblat este, de asemenea, disponibil în format „vrml” în această secțiune. Iată acest obiect, văzut din unghiuri diferite:
Nu se poate spune că o vedere corespunde „deasupra” și cealaltă „de jos”, deoarece aceste denumiri ar fi complet arbitrare. În vizualizarea din stânga, punctul „central” corespunde punctului „dublu” (unde două suprafețe se intersectează) al modelului central Morin, în timp ce punctul central din dreapta corespunde punctului „patru” al aceluiași model (unde patru suprafețe se intersectează). Am orientat cu grijă obiectul, pentru ca imaginea din stânga să nu evocă o cruce gama. Altfel, din punct de vedere arhitectural, această reprezentare poliedrică a modelului central Morin ar fi putut constitui un foarte bun proiect pentru o casă a culturii național-socialiste.
Ultimă vedere:
O ultimă observație: nu există o reprezentare poliedrică „bună” a răsturnării sferei (sau a răsturnării cubului). Prin „bună” trebuie înțeleasă o succesiune de modele suficient de explicite care pot fi montate sub formă de tăieturi relativ ușor, ca modelul de mai sus. O cercetare ar trebui făcută în acest sens, care este la îndemâna oricui, chiar și a unui ne-matematician, a unui plastician, de exemplu. De peste douăzeci de ani am fost profesor de sculptură la Școala de Artă și Arhitectură din Aix-en-Provence, în timpul în care aceasta era încă condusă de bunul meu prieten Jacques Boullier. În acele spații a apărut prima reprezentare meridiană a suprafeței Boy folosind elipse, cheia construcției primei ecuații implicite de către Apéry. Trebuie să spun că, în acea vreme, am fost mereu uimit de imaginația geometrică a studenților de artă, care depășea deseori chiar și cea a... geometrilor.
Contor inițializat pe 31 decembrie 2001. Numărul de conexiuni:
Réalité virtuelle Înapoi la Noutăți
Imagini
