a4103
| 3 |
|---|
Группа переводов:
Рассмотрим двумерное пространство (x,y). В таком пространстве перевод определяется вектором перевода (Dx,Dy). Обычно пишут:
(27) x' = x + Dx y' = y + Dy
Чтобы получить новые значения x' и y', мы используем сложение. Можем ли мы получить те же результаты с помощью .....умножения ?
Рассмотрим следующие матрицы:
(28)
Обратите внимание, что они определяются двумя независимыми параметрами Dx и Dy. Таким образом, размерность группы равна 2.
Форма:
(29)
Обратите внимание, что это принципиально отличается от простого матричного умножения
(30) g x r
Это особое действие группы.
(31)
Кстати, мы можем рассмотреть переводы в 3D или 4D пространствах. Соответствующие квадратные матрицы, образующие группы, это:
(32)
(33)
Соответствующее действие:
(34)
Группа переводов коммутативна. Ее нейтральный элемент - нулевой перевод.
Группы матриц: зачем?
...С помощью групп матриц мы можем объединить несколько операций в одну, в одно действие. Рассмотрим следующие матрицы и следующее действие:
(35-1)
...Мы объединяем две вещи: поворот (угол a), плюс перевод (Dx,Dy).
Элемент g группы G действует на пространство r = (x,y), не "непосредственно", а через более изысканное "действие". Эта группа
(35-2)
называется "специальной евклидовой группой SE(2)", действует на двумерное пространство. Это имя будет объяснено позже.
Какова ее размерность? Она зависит от трех свободных параметров: (a, Dx, Dy), поэтому ее размерность равна трем. Мы можем записать:
gSE (a, Dx, Dy)
Подгруппы.
Для нас группа - это множество квадратных матриц. Среди этого множества мы можем найти подмножества.
gSE (0, Dx, Dy) - подгруппа переводов. gSE (a, 0, 0) - подгруппа поворотов вокруг начала координат 0. gSE (0, Dx, 0) - подгруппа переводов, параллельных оси OX.
Вышеуказанная группа переносит точки. Эти точки не имеют никаких особых характеристик. Это... точки, ничего больше.
...Но позже другие группы, описывающие физический мир, будут переносить точки, имеющие различные характеристики, "атрибуты": масса, энергия, импульс, спин...
С помощью вышеуказанной группы интересны только множества точек. Здесь появляется фундаментальное понятие:
Вид.
...Наша первая группа переносит геометрические объекты, которые являются множествами точек, геометрическими ("жесткими") фигурами. Самое простое множество состоит из двух точек. Рассмотрим пары точек в двумерном пространстве:
(35-3)
...На рисунке (35-3) представлены две пары точек (A,B) и (A',B'). Я могу найти элемент группы, который преобразует (A,B) в (A',B'): комбинируя поворот вокруг точки O и перевод. См. рисунок (35-4).
(35-4)
Теперь рассмотрим две пары:
(35-5)
Невозможно найти элемент g (квадратная матрица) из моей группы G, который может перенести (A,B) на (A",B"). Я скажу, что:
(A,B) и (A',B') принадлежат одному виду.
(A,B) и (A",B") принадлежат разным видам.
Характеристика вида пары точек называется длиной.
Это определение длины в терминах теории групп.
...Как вы можете утверждать, что два отрезка имеют одинаковую длину? Потому что вы можете их сравнить, наложив один на другой.
...В нашей группе два отрезка, длины которых различны, принадлежат разным видам, потому что наша группа не допускает растяжений или сжатий (гомотетических преобразований). Группа, отвечающая за это, - другая группа ("специальная декартова группа"):
(35-6)
С точки зрения этой группы все пары точек образуют один вид. Размерность этой группы равна четырем.
Вместо двух точек мы могли бы рассмотреть три или четыре точки, последние образуя, например, квадраты.
(36)
...С точки зрения группы (35-1), квадраты, стороны которых имеют одинаковую длину, принадлежат одному виду. Но если стороны двух квадратов фундаментально различны:
(37)
они принадлежат разным видам.
Эта группа, управляющая 2D-переводами и поворотами вокруг фиксированной точки плоскости, является специальной евклидовой группой: SE(2).
Теперь мы легко можем представить похожую группу, действующую в 3D-пространстве. Группы 3D- и 4D-переводов были приведены в (32) и (33).
Мы легко можем представить группу, описывающую переводы в n-мерном пространстве. Но что насчет поворотов?
...Мы можем представить поворот в 3D-пространстве. Мы даже можем записать его с помощью матрицы, содержащей три угла, углы Эйлера: тогда ее размерность равна трем.
Индекс Теория динамических групп
Оригинальная версия (английский)
a4103
| 3 |
|---|
Группа переводов:
Рассмотрим двумерное пространство (x,y). В таком пространстве перевод определяется вектором перевода (Dx,Dy). Обычно пишут:
(27) x' = x + Dx y' = y + Dy
Чтобы получить новые значения x' и y', мы используем сложение. Можем ли мы получить те же результаты с помощью .....умножения ?
Рассмотрим следующие матрицы:
(28)
Обратите внимание, что они определяются двумя независимыми параметрами Dx и Dy. Таким образом, размерность группы равна 2.
Форма:
(29)
Обратите внимание, что это принципиально отличается от простого матричного умножения
(30) g x r
Это особое действие группы.
(31)
Кстати, мы можем рассмотреть переводы в 3D или 4D пространствах. Соответствующие квадратные матрицы, образующие группы, это:
(32)
(33)
Соответствующее действие:
(34)
Группа переводов коммутативна. Ее нейтральный элемент - нулевой перевод.
Группы матриц: зачем?
...С помощью групп матриц мы можем объединить несколько операций в одну, в одно действие. Рассмотрим следующие матрицы и следующее действие:
(35-1)
...Мы объединяем две вещи: поворот (угол a), плюс перевод (Dx,Dy).
Элемент g группы G действует на пространство r = (x,y), не "непосредственно", а через более изысканное "действие". Эта группа
(35-2)
называется "специальной евклидовой группой SE(2)", действует на двумерное пространство. Это имя будет объяснено позже.
Какова ее размерность? Она зависит от трех свободных параметров: (a, Dx, Dy), поэтому ее размерность равна трем. Мы можем записать:
gSE (a, Dx, Dy)
Подгруппы.
Для нас группа - это множество квадратных матриц. Среди этого множества мы можем найти подмножества.
gSE (0, Dx, Dy) - подгруппа переводов. gSE (a, 0, 0) - подгруппа поворотов вокруг начала координат 0. gSE (0, Dx, 0) - подгруппа переводов, параллельных оси OX.
Вышеуказанная группа переносит точки. Эти точки не имеют никаких особых характеристик. Это... точки, ничего больше.
...Но позже другие группы, описывающие физический мир, будут переносить точки, имеющие различные характеристики, "атрибуты": масса, энергия, импульс, спин...
С помощью вышеуказанной группы интересны только множества точек. Здесь появляется фундаментальное понятие:
Вид.
...Наша первая группа переносит геометрические объекты, которые являются множествами точек, геометрическими ("жесткими") фигурами. Самое простое множество состоит из двух точек. Рассмотрим пары точек в двумерном пространстве:
(35-3)
...На рисунке (35-3) представлены две пары точек (A,B) и (A',B'). Я могу найти элемент группы, который преобразует (A,B) в (A',B'): комбинируя поворот вокруг точки O и перевод. См. рисунок (35-4).
(35-4)
Теперь рассмотрим две пары:
(35-5)
Невозможно найти элемент g (квадратная матрица) из моей группы G, который может перенести (A,B) на (A",B"). Я скажу, что:
(A,B) и (A',B') принадлежат одному виду.
(A,B) и (A",B") принадлежат разным видам.
Характеристика вида пары точек называется длиной.
Это определение длины в терминах теории групп.
...Как вы можете утверждать, что два отрезка имеют одинаковую длину? Потому что вы можете их сравнить, наложив один на другой.
...В нашей группе два отрезка, длины которых различны, принадлежат разным видам, потому что наша группа не допускает растяжений или сжатий (гомотетических преобразований). Группа, отвечающая за это, - другая группа ("специальная декартова группа"):
(35-6)
С точки зрения этой группы все пары точек образуют один вид. Размерность этой группы равна четырем.
Вместо двух точек мы могли бы рассмотреть три или четыре точки, последние образуя, например, квадраты.
(36)
...С точки зрения группы (35-1), квадраты, стороны которых имеют одинаковую длину, принадлежат одному виду. Но если стороны двух квадратов фундаментально различны:
(37)
они принадлежат разным видам.
Эта группа, управляющая 2D-переводами и поворотами вокруг фиксированной точки плоскости, является специальной евклидовой группой: SE(2).
Теперь мы легко можем представить похожую группу, действующую в 3D-пространстве. Группы 3D- и 4D-переводов были приведены в (32) и (33).
Мы легко можем представить группу, описывающую переводы в n-мерном пространстве. Но что насчет поворотов?
...Мы можем представить поворот в 3D-пространстве. Мы даже можем записать его с помощью матрицы, содержащей три угла, углы Эйлера: тогда ее размерность равна трем.
Индекс Теория динамических групп