a4104
| 4 |
|---|
Ортогональные матрицы. Ортогональные группы.
Рассмотрим квадратную матрицу а. Транспонированная матрица соответствует обмену элементов, симметричных относительно диагонали, как показано на рисунке:
(38)
Обозначим обратную матрицу а⁻¹.
Она удовлетворяет соотношению:
а × а⁻¹ = 1
С этого момента мы больше не будем писать знак × и просто будем писать: а а⁻¹ = 1. Когда две жирные буквы стоят рядом, мы автоматически считаем, что они соответствуют произведению двух матриц.
Ортогональная матрица — это матрица, обратная которой совпадает с её транспонированной.
(38b)
Можно показать, что:
(38c)
откуда следует, что определитель ортогональной матрицы равен ±1.
Они являются ортогональными матрицами любого порядка (n,n). Они образуют группы
O(n) O(n) — это множество ортогональных матриц (n,n).
Рассмотрим матрицы:
(39)
Они являются ортогональными матрицами, определитель которых равен:
det (g) = +1
Это подгруппа ортогональной группы O(2), называемая «специальная ортогональная группа» SO(2).
У нас есть ортогональная группа O(3), состоящая из ортогональных матриц (3,3), определитель которых = ±1. Она имеет подгруппу SO(3), состоящую из ортогональных матриц, определитель которых равен +1.
В четырёх измерениях: у нас есть ортогональная группа O(4) и её подгруппа — специальная ортогональная группа SO(4).
n измерений: ортогональная группа O(n), состоящая из ортогональных матриц (n,n), определитель которых равен ±1. Она имеет подгруппу, называемую специальной ортогональной группой SO(n), ограниченную ортогональными матрицами, определитель которых равен +1.
Можно показать, что размерность ортогональной группы равна (40)
Применение к двумерному пространству: размерность группы равна 1.
Применение к трёхмерному пространству: размерность группы равна трём (три угла Эйлера).
Применение к четырёхмерному пространству: размерность становится шестью.
Мы ввели ориентированную специальную евклидову группу SE(2):
(41)
Которая объединяет повороты и перемещения.
Обозначим:
(42)
Тогда мы можем записать матрицу и её действие на пространстве:
(43)
Примечание:
(44)
В нашем двумерном плоском пространстве, в нашей плоскости, мы находим объекты, подобные:
(45)
Рассмотрим эти особые объекты:
(46)
Они принадлежат одному и тому же классу. Если я возьму любую пару таких объектов, я могу найти элемент группы, который переводит первый во второй, и наоборот.
Второе подмножество объектов:
(47)
принадлежит другому классу.
Третье тоже:
(48)
Но:
(49)
Я не могу найти комбинацию поворота и перемещения с, которая переводит один объект в другой.
Можно ли изменить ориентированную евклидову группу, чтобы сделать это возможным?
Индекс Теория динамических групп
Оригинал (английский)
a4104
| 4 |
|---|
Orthogonal matrixes. Orthogonal groups.
Take a square matrix a. The transposed matrix corresponds to the commutation of the terms which are symmetric with respect to the diagonal, as shown on the figure :
(38)
We write the inverse matrix a-1
It obeys :
a x a-1 = 1
Right now, we will no longer write the sign x and just write : a a-1 = 1 When two bold letters are side to side, we consider that it corresponds automatically to the multiplication of two matrixes.
An orthogonal matrix is a matrix whose inverse identifies to its transposed.
(38b)
One can show that :
(38c)
so that the determinant of an *orthogonal matrix *is ± 1 .
They are orthogonal matrixes of any rank ( n,n) . They form groups
O(n) O(n) is the set of orthogonal matrixes (n,n).
Consider matrixes :
(39)
They are orthogonal matrixes, whose determinant is :
det ( g) = +1
It is a sub-group of the orthogonal group O(2), which is called "special orthogonal group" SO(2).
We have an orthogonal group O(3), composed by (3,3) orthogonal matrixes, whose determinant = ± 1 . It owns a sub-group SO(3) composed by orthogonal matrixes whose determinant is + 1 .
In four dimensions : we have the orthogonal group O(4) and its sub-group : the special orthogonal group SO(4).
n dimensions : orthogonal group O(n), composed by (n,n) orthogonal matrixes, whose determinant is ± 1 . It owns a sub group, called Special orthogonal SO(n) limited to orthogonal matrixes whose determinant is + 1.
One can show that the dimension of an orthogonal group is (40)
Applying to two dimensional space : the dimension of the group is 1.
Applying to three dimensional space, the dimension of the group is three ( the three Euler's angles ).
Applying to four dimensional space, the dimension becomes six.
We have introduced the oriented Special Eulclid's group SE(2):
(41)
Which combined rotations and translation.
Call :
(42)
Then we can write the matrix and the action on space :
(43)
Remark :
(44)
In our 2d flat space, in our plane, we find objects like :
(45)
Considering these peculiar objects :
(46)
they belong to a species. If I take any couple of those object, I can find and element of the group which carries the first onto the second, and vice-versa.
The second sub-set of object :
(47)
belongs to another species.
The third, too :
(48)
But :
(49)
I cannot fing any combination rotation a plus translation c that put one on the other.
Can we modify oriented Euclid's group in order to make this possible ?