a4106
| 6 |
|---|
Компоненты группы.
Мы рассмотрели две группы: SO(2) и O(2). Вторая содержит первую.
Первая содержит нейтральный элемент. Элементы группы можно представить следующим образом:
(73)
Элементы первой компоненты образуют группу (подгруппу).
Элементы второй компоненты не образуют группу по многим причинам:
- Она не содержит нейтрального элемента 1.
- Мы можем выбрать две матрицы из этой второй компоненты, произведение которых не принадлежит этой второй компоненте. Пример:
(74)
Компонента группы, содержащая нейтральный элемент 1, называется
нейтральной компонентой группы.
В дальнейшем мы будем рассматривать группы, имеющие 2, 4, 8 компонент.
Группа Евклида.
Теперь мы можем интегрировать эту расширенную, обогащённую группу с двумерной трансляцией и получаем:
(75)
и соответствующее действие этой группы Евклида:
(76)
Предположим, что мы используем нашу группу для манипулирования, управления, изучения букв алфавита.
Ограничиваем множество буквами: A B C D E F G J K L N P Q R S Z
У нас есть несколько размеров:
(77) A B C D E F G J K L N P Q R S Z A B C D E F G J K L N P Q R S Z
A B C D E F G J K L N P Q R S Z
Мы знаем, что невозможно найти элемент группы или последующее действие группы, которое могло бы преобразовать:
G в G
поскольку их размеры различны. Мы решаем назвать их размеры массами, чтобы G и G были похожи на частицы, объекты, атомы, обладающие разными массами. Теперь всё зависит от группы, действующей на этот набор объектов. Если я использую:
(78)
предположим, что этот "мир" заполнен:
(79)
с определённым спектром размеров (масс) и углов. Если я применяю действия группы, каковы бы они ни были, я никогда не найду объектов, принадлежащих русскому алфавиту:
(80)
Это станет возможным, если я использую расширенную группу, группу Евклида:
(80b)
Тогда мой "мир" станет:
(81)
Группа обогатила "зоопарк" букв. Но в моём зоопарке один элемент инвариантен относительно симметрии, то есть:
(82)
(83)
(84)
(85)
...В общем случае любая симметрия относительно прямой на плоскости, являющейся "двумерным зеркалом", не меняет "природу" этого символа
(86)
Я назову этот символ фотоном и отождествлю преобразование
(87)
с дуальностью материя-антиматерия. Тогда я получу общий зоопарк:
(88)
Мы могли бы связать буквы одинаковой формы (природы), но разного размера (представляющего их энергию), используя группу Декарта:
(89)
...Но мы не будем строить полную аналоговую модель элементарных частиц, основанную на буквенных символах. Во всяком случае, вы уже начинаете понимать, к чему мы стремимся. Группы имеют очень простые аспекты, но скрытые свойства. Эти свойства зависят от их подгрупп, порождающих виды.
...Группа Евклида идёт рука об руку с миром Евклида, с зоопарком Евклида. Животные евклидовой геометрии называются сфера, цилиндр, призмы, плоскость, прямая, треугольники и т.д. Они инвариантны относительно действия некоторых подгрупп. Сурио называет подгруппу, связанную с объектом, принадлежащим определённому виду, регулярностью этого объекта.
Например, сферы, центрированные в данной точке O, инвариантны относительно подгруппы вращений вокруг этой точки.
-
Мы можем считать, что свойство инвариантности является свойством вида, называемого "сферы, центрированные в точке O".
-
И наоборот, мы можем считать, что это свойство определяет вид.
Индекс Теория динамических групп
Оригинальная версия (английский)
a4106
| 6 |
|---|
Components of a group.
We have considered two groups : SO(2) and O(2). The second contains the first.
The first contains the neutral element. We can figure the elements of the group as follows :
(73) .
The elements of the first component form a group (a sub-group).
The elements of the second group do not form a group, for many reasons :
- It does not contain the neutral elements **1.
**- we can pick two matrices in this second component, whose product does not belong to this second component. Example :
(74)
The component of the group which contains the neutral element 1 is called the
neutral component of the group.
In the following we will consider groups with 2, 4, 8 components.
The Euclid's group.
We can now integrate this extended, enriched group, to 2d- translation, and we get :
(75)
and the corresponding action of this Euclid's group :
(76)
Suppose we use our group to manipulate, to rule, to study alphabetic letters.
Limit the set to : A B C D E F G J K L N P Q R S Z
We have several sizes :
(77) A B C D E F G J K L N P Q R S Z A B C D E F G J K L N P Q R S Z
A B C D E F G J K L N P Q R S Z
We know that we cannot find any element of the group, and a subsequent group's action, which can transform :
G into G
for their sizes are different. We decide to call their sizes *masses *so that G and G are similar to particules, objects, atoms, who own different masses. Now, depends on the group which acts on this set of objects. If I use :
(78)
assume this "world" is filled by :
(79)
with a certain spectrum of sizes (masses) and angles. If I operate group actions, whetever they are, I will never find objects which belong to the russian alphabet :
(80)
It will be possible if I take the enriched group, the Euclid's group :
(80b)
Then my "world" will become :
(81)
The group has enriched the letters' "zoo". But in my zoo, one is invariant by symmetry, i.e :
(82)
(83)
(84)
(85)
...In general, any symetry with respect to any straight line of the plane, which is a "2d mirror", does not change the "nature" of this character
(86)
I will call this character a "photon" and will assimilate the transform
(87)
to the matter anti-matter duality. Then I get a global zoo :
(88)
We could link letters of same shape (nature) but different sizes (representing their energies), using Descartes'group:
(89)
...But we are not going to build a complete analogical model of elementary particles, based on alphabetical characters. Anyway, you begin to see were we tend to go. Group have very simple aspects, but hidden properties. These properties depend on their sub-groups, which fathers species.
...Euclid's group goes with an Euclid's world, with Euclid's zoo. The animals of euclidean geometry are called sphere, cylinder, prisms, plane, straight line, triangles, en so on. The are invariant under some sub-group action. Souriau calls the sub-group linked to a an object, which belongs to a species, the **regularity **of this object.
For an example spheres centered on a given point O are invariant through the sub-group of rotations around this point.
-
We can consider that the fact to be invariant is a property of the species called "spheres centered on a point O".
-
Conversely we can consider that this property *defines *the species.