a4107
| 7 |
|---|
Мы стремимся к классификации. Классификация основана на определении вида.
Два объекта, принадлежащие одному виду, имеют общее свойство.
- Возьмите сферу, конкретную сферу.
- Посмотрите на подгруппу большой группы (группы Евклида), которая оставляет эту сферу неизменной. Сурья называет такую подгруппу регулярностью сферы.
- Найдите все объекты, инвариантные относительно действия этой подгруппы. Вы получите все сферы, центрированные в данной точке, включая сферу нулевого радиуса — точку.
Следовательно, точка принадлежит виду «сфер, центрированных в начале координат».
Обратно:
- Возьмите точку в трёхмерном пространстве.
- Посмотрите на подгруппу группы Евклида, которая оставляет эту точку неизменной. Вы получите ортогональную группу O(3).
- Найдите все объекты, инвариантные относительно действия элементов этой подгруппы при вращении вокруг этой точки. Вы получите все сферы, центрированные в этой точке, и заключите, что эта точка и все эти сферы принадлежат одному виду.
Объекты, такие как прямая, плоскость, цилиндр и т.д., можно «построить» как вид, связанный с определённой подгруппой.
...В физике мы хотим классифицировать элементарные частицы. Но вы не можете взять частицу между большим и указательным пальцами и рассмотреть её под лупой. Вы можете наблюдать только её поведение, её движение.
Скажи мне, как ты двигаешься, я скажу тебе, кто ты.
...У меня есть старый друг, Жан-Луи Филош, который отличный шахматист. Он может играть вслепую (по-французски «jouer à l'aveugle» — не видя доски). Вам достаточно назвать ход фигуры:
b1-c3
Для непосвящённых:
(90) Ход коня
...Жан-Луи способен запомнить всё это в голове. Я не знаю, как он это делает, но это работает. Это доказывает, что шахматные фигуры не нужны для игры (компьютеру они тоже не нужны).
...Представьте, что вы находитесь в комнате, и слышите, как два соседа играют в «какую-то игру». Вы их не видите, но слышите, когда они объявляют свои ходы.
b2-b3 b7-b5 и так далее...
...Вы думаете: они что-то двигают. Какая это игра? Вы берёте доску, раскладываете на ней маленькие камни и записываете их ходы по очереди на лист бумаги. Обозначим C — индекс столбца, L — индекс строки. Ход соответствует:
(DC, DL)
Если |DC| ≤ 1 и |DL| ≤ 1: это ход короля.
Если |DC| = |DL|: это ход слона (вдоль диагонали).
Если |DC| × |DL| = 0: это ход ладьи.
Если |DC × DL| = 3: это ход коня.
Если DL строго положителен: это белый пешка. Если DL строго отрицателен: это чёрная пешка.
И так далее. Мы строим классификацию «объектов» на основе их поведения.
Другая аналогия. У вас есть коробка с перемешанными болтами. Вы хотите их классифицировать. Что вам нужно? Разные гайки.
(91)
- Возьмите болт.
- Найдите подходящую к нему гайку.
- Отберите все болты, которые подходят к этой гайке. Вы получите вид болтов.
**Ортогональная группа **O(3).
...Мы можем расширить сказанное выше в двумерном контексте на трёхмерный. Мы знаем, как выполнять поворот в трёхмерном пространстве относительно фиксированной точки — начала координат. Он зависит от трёх углов a, b, g, называемых углами Эйлера. Мы не будем записывать такую матрицу, просто обозначим её:
(92)
det (a) = +1
Это ортогональная матрица:
(92b)
...Ортогональная группа O(3) состоит из всех ортогональных матриц, включая те, определитель которых равен -1. Мы называем такие матрицы (93)
Как и в предыдущем разделе, все ортогональные матрицы можно получить из SO(3) посредством:
(94)
L — диагональная матрица:
(95)
(96)
Всё это избыточно. Но сразу выявляет фундаментальные симметрии.
(97)
(98)
(98b)
(99)
Существуют «зеркальные матрицы», которые меняют ориентацию объектов, преобразуя их в их отражение в зеркале:
(100)
Приведите пример ориентированного объекта, ориентация которого меняется при этой зеркальной симметрии:
(101)
...Это поверхность, изобретённая Вернером Бой, студентом Гильберта. Особое внимание будет уделено этому интересному объекту в разделе сайта, посвящённом математике. Мы удалили часть поверхности, чтобы показать тройную точку T.
...Вы можете назвать один из этих объектов «правым» или «левым». Никто никогда не указывал, какой поворот «правый» для поверхности Боя. Во всяком случае: зачем вращать поверхность Боя? Некоторые утверждают, что она может летать, но я скептически отношусь к этому.
Далее:
(102)
(103)
(104)
...Как и в геометрии 2D (симметрия относительно начала координат), симметрия относительно оси x эквивалентна повороту на π. Наконец:
(105)
которая меняет ориентацию объектов.