Группа Евклида и компоненты O2

a4109

О компонентах группы.

O(2) — это группа, состоящая из двух компонент:

• Ее нейтральная компонента (подгруппа SO(2), содержащая нейтральный элемент 1).
• Остальные элементы.

Если построить двумерную евклидову группу из O(2):
(112)

то эта группа имеет две компоненты. Ее нейтральная компонента состоит из элементов SO(2).
(113)

...

Мы называем её специальной евклидовой группой: с помощью этой группы нельзя изменить ориентацию «буквы», например, R. Двухкомпонентная евклидова группа называется полной группой.
... По отношению к специальной группе, подгруппе полной евклидовой группы:
(114)

принадлежат двум разным видам, поскольку невозможно найти элемент gEO из этой группы GSE (или SE(2)), который мог бы преобразовать первую букву во вторую и наоборот.
... По отношению к полной группе эти две буквы принадлежат одному и тому же виду, поскольку существует элемент gE из группы GE (симметрия, принадлежащая второй компоненте), который может преобразовать одну из этих двух букв в другую.

Аналогично, трёхмерная евклидова группа («полная» евклидова группа):
(115)

имеет две компоненты. Первая — нейтральная, представляет собой подгруппу, образованную элементами SO(3):
(116)

... Мы называем эту нейтральную компоненту специальной евклидовой группой SE(2). По отношению к этой группе правая и левая руки принадлежат разным видам, поскольку ни один элемент gSE из группы GSE не может преобразовать левую руку в правую и наоборот.

По отношению к полной группе они принадлежат одному и тому же виду.

Краткое замечание:
Когда человек смотрит на своё отражение в зеркале, он видит, что его левая и правая руки меняются местами. Но почему при этом не меняются местами его голова и ноги?

Ответ даёт французский математик Ж.М. Сурио:
(116b)

Ещё одно замечание, более техническое. Из ориентированной евклидовой группы можно построить полную евклидову группу, используя скаляр l = ± 1
(116c)

элементы, для которых l = -1, принадлежат второй компоненте и «инвертируют пространство», преобразуя объекты в их энантиоморфные образы.

Обобщение на 4-мерную группу PT.

Начнём с специальной ортогональной группы:
(118)

затем построим группу PT с помощью матриц (4,4):
(119)

Это группа из четырёх компонент (l = ±1; m = ±1).

Эта группа действует на пространство-время следующим образом:
(120)

Заметим, что мы могли бы записать это как:
(121)

Но это ничего не меняет, поскольку фундаментальное действие остаётся неизменным.
Среди этих четырёх компонент имеется нейтральная компонента — группа, ориентированная в пространстве и во времени.
(122)

У нас есть:
(123)

Заметим, что:
(124)

gSOTO также является ортогональной матрицей. Ортогональные матрицы определяются этим аксиоматическим свойством.
... Заметим, что мы будем в значительной степени использовать аксиоматические свойства особых матриц, гораздо больше, чем сами матрицы. Для группы SO(2) мы явно записали матрицы. Но для SO(3) и O(3) мы этого не будем делать, поскольку это будет не нужно и приведёт к излишней сложности вычислений. Более эффективно и элегантно использовать аксиоматические свойства матриц группы.

Предвосхищая, рассмотрим матрицы, определённые как:
(125)

где:
(126)

В виде диагональной матрицы:
(127)

Кроме того:
(128)

Покажите, что эти матрицы образуют группу.
Рассмотрим:
(129)

и образуем:
(130)

Тогда произведение таких обобщённых матриц Лоренца удовлетворяет аксиоме.
Покажите, что обратная матрица принадлежит группе:
(131)

Вычислите обратную матрицу.
(132) (132b)

соответствует частному случаю:
(132c)

... Форма этой матрицы соответствует метрике пространства-времени (как мы увидим снова, при рассмотрении матриц Лоренца, далее, в контексте релятивистского мира).
(133)

где — вектор пространства-времени.
Связь соответствует элементарной квадратичной форме:
(134)

с:
(134b)

что даёт:

(135) ds² = dx°² + dx² + dy² + dz²

x° = ct — «хронологическая переменная».
Это соответствует евклидову пространству-времени, где скорость:
(136)

не ограничена.

Индекс Теория динамических групп