Группы и физика, ковариантное действие импульса
| 7 |
|---|
Элемент gp группы Пуанкаре Gp определяется последовательностью параметров {pi}, число которых, как мы уже говорили, представляет собой размерность группы. Матрица d**g (g = e) **строится из величин {dpi}. Таким образом, отображение выше является следующего типа:
(81)
Другими словами, множеству скаляров dpi соответствует такое же количество скаляров dpi'. Дуальность заключается в предположении инвариантности скаляра, согласно:
(82)
где n - размерность группы (десять для группы Пуанкаре). Скаляры Ji представляют компоненты момента, количество которых такое же.
Мы решим разложить этот момент **J **на два объекта. Первым будет антисимметричная матрица M размера (4,4), имеющая, таким образом, шесть компонент, а вторым - "четырехвектор" P, матрица размера (4,1):
(83)
(84) **J **= { M , p , E} = { M , P } Напишем скалярное произведение в виде:
(85)
Tr означает "след", и мы также получим:
(86)
линейная форма, инвариантность которой обеспечивает дуальность.
с:
(87) (87b)
(87c)
но GG = 1, поэтому это равно:
(88)
Идентифицируем члены в y (89)
То есть:
(90)
----> Здесь также следуют детали матричных вычислений. Если вы этого хотите, нажав здесь, вы можете перейти непосредственно к результату
В следе можно выполнить циклическую перестановку членов.
(90a)
(90b)
(90c)
второй член правой части равен произведению строковой матрицы на столбцовую матрицу.
Это равно следу обратного произведения (ниже, схематически, произведение строковой матрицы на столбцовую матрицу):
(90d)
В этом следе я могу выполнить циклическую перестановку:
(90e)
Отсюда:
(90f)
(90g)
Здесь мы снова применим теорему о следах матриц, которые являются произведением другой матрицы на симметричную матрицу.
Любая матрица может быть симметризирована или антисимметризирована. Кроме того, след произведения матрицы на симметричную матрицу равен нулю.
(90h)
Я могу применить это к матрице (90i), поскольку мы берем след
(90j)
(90k) = sym ( ) + antisym ( )
но:
(90l)
поэтому
(90m) (90n)
(90o)
(90p)
и:
(90q)
в конечном итоге:
(90r)
Сгруппировав и изменив стороны с штрихом, я получаю действие группы:
Изображения
