7
Мы стремимся к классификации. Классификация основана на определении вида.
Два объекта, принадлежащие одному виду, имеют общее свойство.
-
Возьмите сферу, конкретную сферу.
-
Посмотрите на подгруппу большой группы (группы Евклида), которая оставляет эту сферу неизменной. Сурья называет такую подгруппу
регулярностью
сферы.
- Найдите все объекты, которые инвариантны относительно действия этой подгруппы. Вы найдете все сферы, центрированные в данной точке, включая сферу нулевого радиуса — точку.
Тогда точка принадлежит виду «сфер, центрированных в начале координат».
Обратно:
-
Возьмите точку трёхмерного пространства.
-
Посмотрите на подгруппу группы Евклида, которая оставляет эту точку неизменной. Вы получите ортогональную группу O(3).
-
Затем найдите все объекты, инвариантные относительно действия элементов этой подгруппы при вращении вокруг этой точки. Вы найдете все сферы, центрированные в этой точке, и сделаете вывод, что эта точка и все эти сферы принадлежат одному виду.
Объекты, такие как прямая, плоскость, цилиндр и т. д., можно «построить» как вид, связанный с определённой подгруппой.
В физике мы хотим классифицировать элементарные частицы. Но вы не можете взять частицу между большим и указательным пальцами и рассмотреть её под лупой. Вы можете наблюдать только её поведение, её
движение
.
Скажите мне, как вы двигаетесь, я скажу вам, кто вы.
У меня есть старый друг, Жан-Луи Филош, который отличный шахматист. Он может играть вслепую (по-французски «jouer à l'aveugle» — не видя доски). Вам достаточно указать ход фигуры:
b1-c3
Для непосвящённых:
(90)
Ход коня
Жан-Луи способен запомнить всё это в голове. Я не знаю, как он это делает, но это работает. Это доказывает, что шахматные фигуры не нужны для игры (компьютер тоже не использует их).
Представьте, что вы находитесь в комнате и слышите, как двое соседей играют в «какую-то игру». Вы их не видите, но слышите, когда они объявляют свои ходы.
b2-b3
b7-b5
и так далее...
Вы думаете: они двигают что-то. Какая это игра? Вы берёте шахматную доску, ставите на неё маленькие камни и записываете их ходы по очереди на лист бумаги. Обозначим C — индекс столбца, L — индекс строки. Ход соответствует:
(ΔC, ΔL)
Если |ΔC| = 1 и |ΔL| = 1: это ход короля.
Если |ΔC| = |ΔL|: это ход слона (вдоль диагонали).
Если |ΔC| × |ΔL| = 0: это ход ладьи.
Если |ΔC × ΔL| = 3: это ход коня.
Если ΔL строго положителен — белый пешка. Если ΔL строго отрицателен — чёрная пешка.
И так далее. Мы строим классификацию «объектов»
на основе их поведения
.
Ещё один образ. У вас есть коробка с перепутанными болтами. Вы хотите их классифицировать. Что вам нужно? Разные гайки.
(91)
-
Возьмите болт.
-
Найдите подходящую к нему гайку.
-
Отберите все болты, которые подходят к этой гайке. Вы получите вид болтов.
Ортогональная группа
O(3).
Мы можем расширить сказанное выше в двумерном контексте на трёхмерный. Мы знаем, как выполнять поворот в трёхмерном пространстве относительно фиксированной точки — начала координат. Он зависит от трёх углов α, β, γ, называемых углами Эйлера. Мы не будем записывать такую матрицу, а просто обозначим её:
(92)
det(α) = +1
Это ортогональная матрица:
(92b)
Ортогональная группа O(3) состоит из всех ортогональных матриц, включая те, детерминант которых равен -1. Мы называем такие матрицы (93)
Как и в предыдущем разделе, все ортогональные матрицы можно получить из SO(3) по формуле:
(94)
где L — диагональная матрица:
(95)
(96)
Всё это избыточно. Но сразу выявляет фундаментальные симметрии.
(97)
(98)
(98b)
(99)
Существуют «зеркальные матрицы», которые меняют ориентацию объектов, превращая их в их отражение в зеркале:
(100)
Приведите пример ориентированных объектов, ориентация которых меняется при этой зеркальной симметрии:
(101)
Это поверхность, изобретённая Вернером Бой, учеником Гильберта. Особое внимание этому интересному объекту будет уделено в разделе сайта, посвящённом математике. Мы удалили часть поверхности, чтобы показать тройную точку T.
Вы можете называть любой из этих объектов «правым» или «левым». Никто никогда не указывал, какой поворот «правый» для поверхности Бой. Во всяком случае: зачем вращать поверхность Бой? Некоторые утверждают, что она может летать, но я в этом сомневаюсь.
Далее:
(102)
(103)
(104)
Как и в геометрии на плоскости (симметрия относительно начала координат), симметрия относительно оси x эквивалентна повороту на
π
.
Наконец:
(105)
которые меняют ориентацию объектов.
Индекс Теория динамических групп
Оригинал (английский)
7
We search to classify. Classification is based on the defnition of species.
Two objects which belong to the same species have some common property.
-
Take a sphere, a peculiar sphere.
-
Look at the sub-group of the grand group ( Euclid's group ) which keeps this sphere invariant. Souriau calls such sub-group the
regularity
of a sphere.
- Search all the objects which are invariant through the action of this sub-group. You find all the spheres centered on a given point, Including the zero-radius shere : the point.
Then the point belongs to the species of "spheres centered around the origin".
Conversely :
-
Take a point of a three-dimensional space.
-
Look at the sub-group of Euclid's group which keeps this point invariant. You find the orthogonal group O(3).
-
Then search all the objects which are invariant through the action of the elements of this sub-groups, under rotation around this point. You find all the spheres centered on this point and conclude that this point and all these spheres belong to a same species.
Objects like a straight line, a plane, a cylinder, etc..... can be "built" as a species linked to some peculiar sub-group.
In physics we want to classify elementary particles. But you cannot take a particle between your thumb and index and look at it through a magnifying glass. The just can observe its behaviour, its
movement
.
Tell be how you move, I will tell you what you are.
I have an old good friend, Jean-Louis Philoche, who is a fine chess player. He can play blind ( en français "jouer à l'aveugle", sans voir l'échiquier ). . You just have to indicate to him the movement of a piece ( une pièce de jeu ) :
b1-c3
For non-players :
(90)
Horse's move
Jean-Louis is able to memorize all that in his head. I don't know how he does, but it works. It proves that chess pieces are not necessary to play ( a computer does not use it ).
Imagine you are in a room and you hear two neighbourings who play "some game". You don't see them but you hear when the announce their moves.
b2-b3
b7-b5
and so on.....
You think : they move something. What's the game ? You take a boad, put small stones on it, and notice their successive moves on a sheet of paper. Call C the column indix and L the line indix. A move corresponds to :
( D C ,
D L )
If I DC I ? 1 and I DL I ? 1 : This refers to a king's move.
If I DC I = I DL I: this refers to a bishop's move ( along a diagonal ).
If I DC I x I DL I = 0 : This refers to a tower's move.
If I DC x DL I = 3 : this refers to a horse's move.
If DL is strictly positive, this refers to white pawn. If is strictlty negative, it refers to a black pawn.
An so on. We build a classification of "objects"
based on their behaviour
.
Another image. You have a box, with mixed bolts. You want to classify these bolts. What to you need ? Different nuts.
(91)
-
Take a bolt.
-
Search the nut that fits it.
-
Select all the bolts that fit this nut. You get a species of bolts.
Orthogonal group
O(3).
We can extend what was said above in 2d to 3d context. We know how to make a rotation in a 3d space, with respect to a fixed point, origine of coordinates. It depends on three angles a , b , g , called Euler's angles. We won't write such a matrix, just write it :
(92)
det (
a
) = + 1
It is an orthogonal matrix :
(92b)
The orthogonal group O(3) is composed by all orthogonal matrixes, including those whose determinant is = - 1 . We call these matrixes (93)
As in preceding section we can obtain all the orthogonal matrixes, from the SO(3), through :
(94)
Lbeing the diagonal matrix :
(95)
(96)
All this is redundant. But it makes appear immediatly the basic symmetries.
(97)
(98)
(98b)
(99)
There are "mirror matrixes" which reverse the orientation of the objects, transform these objects into their image in a mirror :
(100)
Give an example of oriented objects, whose orientation is reversed through this mirror symmetry :
(101)
This is the surface invented by Werner Boy, a student of Hilberth. Attention will be paid to this interesting object in the section of the site devoted to mathematics. We have removed a portion of the surface in order to show the triple point T.
You can call any of these object "right" or "left". Nobody has never indicated what was the right rotation movement of of Boy's surface. Anyway : to make a Boy's surface to turn : why ? Some pretend it can fly, but I am skeptical.
Next :
(102)
(103)
(104)
As in 2d geometry (symmetry with respect to the origin ) the symmetry with respect to ax axis is equivalent to a rotation of
p
.
Finally :
(105)
which change the orientation of objects.
Index Dynamic Groups Theory