9
О компонентах группы.
O(2) — это группа, состоящая из двух компонент:
-
Ее нейтральная компонента
(подгруппа SO(2), содержащая нейтральный элемент 1). -
Остальные элементы.
Если построить двумерную евклидову группу на основе O(2):
(112)
то эта группа имеет две компоненты. Ее нейтральная компонента строится из элементов SO(2).
(113)
Мы называем её
специальной
евклидовой группой: с помощью этой группы нельзя изменить ориентацию «буквы», например, R.
Евклидова группа, обладающая двумя компонентами, называется
полной группой
.
По отношению к специальной группе — подгруппе полной евклидовой группы:
(114)
принадлежат двум различным видам, поскольку нельзя найти элемент
g
EO
этой группы GSE (или SE(2)), который мог бы преобразовать первую букву во вторую и наоборот.
По отношению к полной группе эти две буквы принадлежат одному виду, поскольку существует элемент
g E
группы G
E (симметрия, принадлежащая второй компоненте), который может преобразовать одну из этих двух букв в другую.
Аналогично, трёхмерная евклидова группа («полная» евклидова группа):
(115)
имеет две компоненты. Первая —
нейтральная компонента
— является подгруппой, образованной элементами SO(3):
(116)
Мы называем эту нейтральную компоненту специальной евклидовой группой SE(3). По отношению к этой группе правая и левая руки принадлежат разным видам, поскольку не существует элемента
g
SE
группы G
SE
, который мог бы преобразовать левую руку в правую и наоборот.
По отношению к полной группе они принадлежат одному виду.
Краткое замечание:
Когда человек смотрит на своё отражение в зеркале, он видит, что его левая и правая руки меняются местами. Но почему при этом не меняются местами его голова и ноги?
Ответ даёт французский математик Ж.М. Сурио:
(116b)
Ещё одно, более техническое замечание. Из ориентированной евклидовой группы возможно построить полную евклидову группу, используя скаляр l = ± 1
(116c)
элементы, для которых l = -1, принадлежат второй компоненте и «обращают пространство», преобразуют объекты в их энантиоморфные образы.
Расширение до 4D-группы PT.
Начнём с специальной ортогональной группы:
(118)
затем построим группу PT с помощью матриц (4,4):
(119)
Это группа из четырёх компонент (l = ± 1; m = ± 1).
Эта группа действует на пространство-время следующим образом:
(120)
Заметим, что мы могли бы записать это как:
(121)
Но это не меняет ничего, поскольку основное действие остаётся неизменным.
Среди этих четырёх компонент имеется нейтральная компонента — группа
(пространство ориентировано, время ориентировано).
(122)
Имеем:
(123)
Обратите внимание:
(124)
g
SOTO
тоже является ортогональной матрицей. Ортогональные матрицы определяются этим аксиоматическим свойством.
Обратите внимание, что мы будем в значительной степени использовать аксиоматические свойства особых матриц, гораздо больше, чем сами матрицы. Для группы SO(2) мы явно записали матрицы. Но для SO(3) и O(3) мы этого не будем делать, поскольку это будет излишне и сделает вычисления чрезмерно сложными. Более эффективно и элегантно использовать аксиоматические свойства матриц группы.
Предвосхищая, рассмотрим матрицы, определённые как:
(125)
где:
(126)
В виде диагональной матрицы:
(127)
Кроме того:
(128)
Покажите, что эти матрицы образуют группу.
Рассмотрим:
(129)
и образуем:
(130)
Тогда произведение таких обобщённых матриц Лоренца удовлетворяет аксиоме.
Покажите, что обратная матрица принадлежит группе:
(131)
Вычислите обратную матрицу.
(132)
(132b)
соответствует частному случаю:
(132c)
Форма этой матрицы соответствует метрике пространства-времени (как мы увидим снова, с матрицами Лоренца, далее, при рассмотрении релятивистского мира).
(133)
где — вектор пространства-времени
Связь соответствует элементарной квадратичной форме:
(134)
при условии:
(134b)
что даёт:
(135)
ds² = dx⁰² + dx² + dy² + dz²
x⁰ = ct — «хронологическая переменная».
Это соответствует евклидову пространству-времени, где скорость:
(136)
не ограничена.
Индекс Теория динамических групп
Оригинал (английский)
9
About components of the group.
O(2) is a group composed by two components :
-
Its neutral component
( a sub-group SO(2) which contains the neutral element 1 ). -
The rest of the elements.
If we form a 2d Euclid'd group from O(2) :
(112)
this group owns two components. Its neutral component is built with the SO(2) element.
(113)
We call it
Special
Euclid's group : we cannot, with this group, reverse the orientation of a "letter", like R.
The Euclid's group with its two components is called the
complete group
.
With respect to the special group, sub-group of the complete Euclid's group :
(114)
belong to two distinct species, because we cannot find any element
g
EO
of this group GSE ( or SE(2) ) which can change the first letter into the second, and vice-versa.
With respect to the complete group, these two letters belong to the same species, for there is an element
g E
of the group G
E ( symmetry, which belong to the second component ) which can change one of these two letters into the other.
Similarly the 3d Euclid's group ( the "complete" Euclid's group ) :
(115)
has two components. The first, the
neutral
one, is a sub-group formed with the element of SO(3) :
(116)
We call this neutral component the Special Euclid's group SE(2). With respect to this group a right hand and a left hand belong to distinct species, for there is no element
g
SE
of G
SE
which can transform a left hand into a right hand, and vice-versa.
With respect to the complete group they belong to the same species.
A short remark :
When a man looks at his image in a mirror, he sees that his left hand and raight hand are exchanged. But why his head and feet are not exchanged too ?
The answer is given by the french mathematician J.M. Souriau :
(116b)
Another remark, more technical. From the oriented Euclid's group it is possible to build the complete Euclid's group, using a scalar l = ± 1
(116c)
l = - 1 terms of the group belong to the second component and "reverse space", transform objects into their enantiomorphic image.
Extension to 4d PT-group.
Let us start from the special orthogonal group :
(118)
and then build the PT-group through (4,4) matrixes :
(119)
It is a four-components group ( l = ± 1 ; m = ± 1 ).
This group acts on space time through the following action :
(120)
Notice we could write it :
(121)
But it does not change anything, for the basic action is not changed.
Amont these four components we have the neutral component, the ( Space oriented , time-oriented group ).
(122)
We have :
(123)
Notice that :
(124)
g
SOTO
is also an orthogonal matrix. Orthogonal matrixes are defined through this axiomatric property.
Notice that we are largely going to use the axiomatic properties of peculiar matrixes, much more than the matrixes themselve. With teh SO(2) group we have written the matrixes explicitely. But for SO(3) and O(3) we won't, for it will not be not necessary and would make the calculations unecessarly complicated. It is much more efficient and elegant to use the axiomatic properties of the matrixes of the group.
Anticipating, consider the matrixes defined by :
(125)
where :
(126)
As a diagonal matrix :
(127)
In addition :
(128)
Show that these matrixes form a group.
Consider :
(129)
and form :
(130)
Then the product of such
generalized Lorentz matrixes
obeys the axiom.
Show that the inverse matrix belongs to the group :
(131)
Compute the inverse matrix.
(132)
(132b)
corresponds to peculiar case :
(132c)
The form of this matrix corresponds to the metric of space-time (as will be considered again, with Lorentz-matrixes, further, dealing with relativistic world).
(133)
being space-time vector
The link corresponds to the elementary quadratic form :
(134)
with :
(134b)
this gives :
(135)
ds 2
= dx°
2
-
dx 2
-
dy 2
-
dy 2
x° = ct being a "chronological variable".
This corresponds to a euclidean space-time, where the velocity :
(136)
is unlimited.
Index Dynamic Groups Theory