grup ve fizik eş-eksen eylem momentum
| 7 |
|---|
Poincaré grubu Gp'nin bir gp elemanı {pi} parametrelerinin bir dizisiyle tanımlanır; bunun sayısının grubun boyutunu temsil ettiğini daha önce belirtmiştik. g (g = e) matrisi {dpi} nicelikleriyle oluşturulur. Bu nedenle yukarıdaki uygulama şu şekildedir:
(81)
Yani, bir dpi skalerler kümesine eşit sayıda dpi' skalerleri karşılık gelir. Dualite, şu şekilde tanımlanan bir skalerin değişmezliğini varsayar:
(82)
n, grubun boyutu (Poincaré grubu için on). Ji skalerleri, aynı sayıda bileşenleri olan momentumun bileşenlerini temsil eder.
Bu momentu J'yi iki nesneye ayırma kararı alacağız. Birincisi, (4,4) formatında, yani altı bileşeni olan bir M ters simetrik matrisi, ikincisi ise bir "dört vektör" P, (4,1) formatında bir matris:
(83)
(84) J = { M, p, E} = { M, P } Skaler çarpımı şu şekilde yazacağız:
(85)
Tr, "iz" anlamına gelir ve ayrıca şu şekilde olur:
(86)
Bu, dualiteyi sağlayan doğrusal form.
Şöyle ki:
(87) (87b)
(87c)
ancak GG = 1 olduğundan, bu şu anlama gelir:
(88)
y terimlerini eşleştirin (89)
Yani:
(90)
----> Burada matris hesaplaması detayları gelir. İsterseniz buraya tıklayarak doğrudan sonuca ulaşabilirsiniz.
İz içinde terimlerin dairesel bir permütasyonu yapılabilir.
(90a)
(90b)
(90c)
ikinci terim, bir satır matrisin bir sütun matrisiyle çarpımına eşittir.
Bu, ters çarpımın izine eşittir (aşağıda, satır matrisin sütun matrisiyle çarpımı şematik olarak gösterilmiştir):
(90d)
Bu iz içinde dairesel bir permütasyon yapabilirim:
(90e)
Böylece:
(90f)
(90g)
Burada, başka bir matrisin bir simetrik matrisle çarpımının iziyle ilgili teoremi yeniden uygulayacağız.
Herhangi bir matris simetrize edilebilir veya antisimetrize edilebilir. Ayrıca, bir matrisin bir simetrik matrisle çarpımının izi sıfırdır.
(90h)
Bu durumu (90i) matrisine uygulayabilirim, çünkü iz alıyoruz:
(90j)
(90k) = sim ( ) + antisim ( )
ancak:
(90l)
bu yüzden:
(90m) (90n)
(90o)
(90p)
ve:
(90q)
sonunda:
(90r)
Terimleri birleştirip üsleri yer değiştirdiğimde grubun eylemini elde ederim:
Resimler
