Boy yüzeyi modeli poliedrik, Steiner'in Roma yüzeyi

Bir Cross Cap yüzeyini nasıl Boy yüzeyine (sağ veya sol, tercihe bağlı) dönüştürürüz

Steiner'in Roma yüzeyi üzerinden geçerek.

İtalyanca: Andrea Sambusetti, Roma Üniversitesi

../../Crosscap_Boy1.htm

27 Eylül - 25 Ekim 2003

Sayfa 4

Modeli bir başka açıdan da sunuyoruz:

Tablo 14: Aynı işlemi tekrarlayarak kesişme eğrisinin üçüncü "kulak"ını oluşturuyoruz. Poliedrik modelde bu son, ortak bir köşesi olan üç kare şeklinde görünüyor: üçlü nokta T.

Tablo 15: Nesneyi döndürerek, Topologicon'da sunduğum poliedrik Boy yüzeyinin versiyonunu bulacaksınız (burada onu inşa etmenizi sağlayan bir montaj planı da mevcut).

Son tablo: Steiner yüzeyinin nasıl kıvrıldığını ve Boy yüzeyine nasıl dönüştüğünü göstermeye çalıştım.

Gördüğünüz gibi, "yuvarlak" bir şekilde çizildiğinde, bunu anlamak için oldukça fazla pratik gerekir. Gözümüz, aynı görsel çizgide iki düzlemden fazlasının üst üste gelmesini anlamakta oldukça rahatsız olur. Bu yüzden poliedrik modelin önemi ortaya çıkar; bu model, sadece kendi kendine model yapmaya çalışırsanız, geometride karmaşık görünen dönüşümleri herkesin ulaşabileceği hale getirir. Ayrıca, seçilen kuspuç çiftlerine göre, sağ veya sol Boy yüzeyi elde edildiğini not edelim (tanımlar tamamen rastgele). Proyeksiyon düzlemi, iki birbirinin aynısı olan "antiautomorfik" temsillerle uzayda gömülebilir. Bu yüzden, sağ Boy yüzeyinden sol Boy yüzeyine geçişin, Steiner'in Roma yüzeyi adı verilen "merkezi" bir model üzerinden yapılabileceğini de görüyoruz.

Bu çizimlerin Pour la Science veya La Recherche gibi dergilerde yayımlanması muhtemelen çok güzel olurdu. Ama 20 yıldır, UFO izlenimiyle ilgili sapkınlık nedeniyle bu dergilerde yayımlanmamam "yasak" oldu. Teşekkürler, Hervé This ve Philippe Boulanger. Bu dergilere sunduğum bu tür makalelerin sayısını kaybettim ve nazikçe reddedildiler. Sonunda kendi "kınanmış" statüme alıştık.

Anekdotik bir şekilde, matematik popülerleştirme kitaplarının yazarlarını ödüllendirmek için bir "d'Alembert Ödülü" var. Bu hikâyeyi ödül karar verme görevindeki bir komisyon üyesinden duydum (elbette para meselesi de var). Diyalog:

• Peki, neden Petit'e ödül vermiyoruz? "Géométricon", "Trou Noir" ve "Topologicon" gibi not edilecek eserler yazdı.

• Evet, ama bununla sınırlı değil.

• Ne demek istiyorsun?

• "Mur du Silence" adlı kitabı da yazdı.

• Ah, o zaman...

Evet, 1983 yılında yayımlanan "Mur du Silence", MHD'ye (Mühendislik Hızı Dengelemesi) adanmış bir albüm. Ve herkesin bildiği gibi, bu yozlaşıcı bilim, uçağın süpersonik hızda hareket etmesini, "Bang" yapmadan sağlayabilme özelliğine sahiptir.

« Bu bilimi saklayın, ben onu göremem »

Kutularımda, Morin'un varyantının poliedrik versiyonu olmayan, çok güzel bir "küpün ters çevirilmesi" versiyonu var. Tümü de benim işim. Bir gün...

22 Ekim 2003: Sayfalarımda fazla uğraşmadığımı, sayacın bana göre anladığım kadarıyla, sanırım. 13 Ekim 2003'te, Château-Gombert-Marseille'deki Matematik ve Bilgisayar Merkezi (CMI) tarafından davet edilerek bir seminer verdim. Bu fırsatla, Christophe Tardy tarafından fotoğraflanmış, yaklaşık otuz adet kartondan oluşan bir model koleksiyonunu ortaya çıkardım. Bir gün bunların ilk kez sunulmasını göreceksiniz.

Bir seminer verildiğinde, belirli bir atmosfer oluşur. Aşağıdaki fotoğrafta, bir geometri uzmanının kafasını karıştıran bir durumu görüyorsunuz.

Arka planda, uzun süredir birlikte çalıştığım iş arkadaşım Boris Kolev'ın yardımıyla sergilenen modellerin bir kısmı. Belirli bir anda şu soruyu sordum:

• Bu Roma yüzeyini daha önce kimler gördü? El kaldırsın.

Kimse hiç görmedi. Bu yüzden, sanırım bu nesneyi, yanımdayken getirdiğim dizüstü bilgisayarla, Christophe Tardy (mühendis) ve Grenoble'deki Laue Langevin Enstitüsü'nden Frédéric Descamp'ın yardımıyla hazırladığım sanal gerçeklik programıyla sunmak faydalı olacak.

Açıkça, bu sunum, matematiksel yüzeylerin keyfi şekilde döndüğünü görenlere nadir görülen bir etki yaratıyor.

Ön plana çıkan iki karton tablo, tüm modellerin mantıklı sırayla sunulmasını sağladı. Yeşil ve sarı modeller, kuspuç çiftlerinin oluşum-çözülmesi için temel araç olan poliedrik formda sunuluyor. Daha uzakta, beyaz nesne, Cross Cap yüzeyinin poliedrik bir versiyonu. Önce Steiner'in Roma yüzeyinin poliedrik versiyonuna, sonra bir metre ileride, isteğe bağlı olarak sağ veya sol Boy yüzeyine dönüşüyor.

Modellerin analizi, izleyiciler arasında çeşitli gözlemler doğurdu. Bir geometri uzmanı sordu:

• Eğer modelleri bu sırayla takip ederek Cross Cap yüzeyinden Boy yüzeyine geçilebiliyorsa, ters yönde işlem yapılırsa, Boy yüzeyinin Cross Cap yüzeyine dönüştürülmesi mümkün görünüyor.

Ben ona olumlu cevap verdim. Cesaretlenen konuşmacı ekledi:

• O zaman, Roma yüzeyine kadar gelinip durulursa, başlangıçtaki Boy yüzeyine göre yansıtılmış bir Boy yüzeyine dönmek mümkün olmalı.

Bunu ikinci kez onayladım. Ama maalesef, kapalı yüzeylerin kuspuçları çiftler halinde oluşturulup çözülebilen, bu tür yüzeylerin gömülmesiyle ilgili bu garip dünyada, bu tür dönüşümleri açıklayan biri ortaya çıkmadı. Bu durumda "toplam gömme" (summersion) terimi uygun görünüyor. Bu konuda bir açıklama yapabilecek bir okur, memnuniyetle karşılanacaktır.

Kuspuç noktasında yoğunlaşmış eğrilik.

Bu eğrilik, köşedeki açıların toplamını hesaplayıp, bu toplamı Öklid düzleminde elde edilen 2p sonucuyla karşılaştırarak hesaplanır.

Solda üstte, bir kuspuç noktasının birçok mümkün poliedrik temsillerinden biri görüyorsunuz. Yüzeyi "açtığımızda", açıların toplamı 2p değerinden 2a kadar fazla oluyor. Bu yüzden, bu nokta C etrafında yoğunlaşmış açısal eğrilik -2a olur. Eğer açı a, p/2'e eşitse, negatif eğrilik -p olur (sağ alttaki şekil). Aslında, bir kuspuç noktasının eğrilik değeri sonsuz sayıda olabilir. Sağ altta açısal toplamı daha da vurguladık ve eğrilik şimdi < -p oluyor (negatif eğrilik arttı).

Ters yönde işlem yaparak oldukça şaşırtıcı bir duruma ulaşabiliriz: C noktasında yoğunlaşmış eğrilik (açısal) ... sıfır olabilir:

Şimdi, her biri -p eğrilikli iki kuspuç noktası içeren bir Cross Cap yüzeyinin poliedrik temsiline başlıyoruz:

Bu şekilde, +p/2 değerinde sekiz "pozikon" var. Dört adet +p/4 eğrilikli "pozikon" ve dört adet -p/4 eğrilikli "negakon" ekliyoruz.

İki kuspuç noktası da -p eğrilikli.

Toplam: 2p

Bu "toplam eğrilik" değerini 2p'ye bölünce, herhangi bir proyeksiyon düzleminin (veya Boy yüzeyinin) Euler-Poincaré karakteristiğini elde ediyoruz.

Seminerde, küre çevirme işlemiyle bir Cross Cap yüzeyinin iki kuspuç noktasının nasıl yer değiştirebileceğini anlattım. Bu konuyu web sitimde bir yerde mi sunduğumu hatırlamıyorum. Çok karışık bir şey. Aramalıyım, yoksa ekleyeceğim. Eğlenceli. Ancak, bu işlemi seminerdeki bir kişi hiç beğenmedi:

• Petit'in bir Cross Cap yüzeyinin iki kuspuç noktasını birbirine bağlayan simetriyi kanıtlamak için bu kadar karmaşık bir yöntem kullanmasına gerek yok. Çok daha basit bir şekilde yapılabilir.

Ve tahtaya, iki cetvelin birbirine değdiği, kesişme çizgisi bir doğru parçası olan, uçlarında iki kuspuç noktası bulunan, Cross Cap yüzeyine benzer bir küre basılarak çizdi. Ne yazık ki, bu kişi fark ettiğinde, bu aslında Cross Cap yüzeyi değil.

• Tanrım, o zaman ne oluyor? Diye sordu biri.

Sadece iki kuspuç noktası olan bir kürenin gömülmesidir. Bu iki kuspuç noktasını bir noktaya yaklaştırırsanız, kesişme çizgisi bir çembere dönüşür. Böylece (sağ altta) standart gömülmesi gereken kürenin bir gömülmesi elde edilir. Bu yüzeyin poliedrik bir temsili de verilebilir:

Bu, toplam eğrilik 2p olan iki yüzeyli bir yüzeydir.

Yani, bu "toplam gömme" konusunda oldukça eğlence yapabiliriz. Örneğin, sonsuz işareti bir ekseni etrafında döndürerek elde edilen bir torus gömülmesini düşünelim:

Kuspuç noktalarının bir noktaya yaklaştırılması tekniği, yukarıdaki çizimlerde gösterildiği gibi, torusun standart gömülmesine hızlıca ulaşmamızı sağlar.

Ama her zaman bu kadar kolay ve açık olmaz. Örneğin, iki doğru parçası arasında sıkıştırılmış bir küre düşünelim, bu sefer bu doğru parçaları çapından daha kısa olsun. Yine iki kuspuç noktası elde ederiz.

Bu yüzey bir Möbius bant içerdiği için, tek yüzlüdür. Yanında, toplam eğrilik değerini hesaplamamızı sağlayan bir poliedrik temsili yerleştirildi. Sonuç sıfır çıktı. Yanlışlıkla değilse, bu bir Klein şişesi olmalı. Genellikle sadece klasik gömülmesi bilinir, burada kesişme çizgisi basit bir çemberdir. Ama başka gömülme şekilleri de vardır, bunlardan biri de burada. İtiraf edeyim, henüz bunu standart bir Klein şişesine dönüştürmenin yolunu bulamadım. Ayrıca, bu "gömülme" ile klasik gömülmenin aynı homotopi sınıfında olup olmadığını da bilmiyorum (örneğin, küre için yalnızca bir tane vardır). Önceden kesinlikle öyle olmayabilir: Torus, üç boyutlu uzayda dört farklı şekilde gömülebilir ve bu gömülme şekilleri düzenli bir homotopiyle birbirine dönüştürülemez. Bu durumun mümkün olup olmadığına dair bir keşif beklerken, iki ek kuspuç noktası ekleyerek iki Cross Cap'ı bir tüple birleştirerek bir dönüşüm yaptım. Bunu ayrıştırdığımızda, Euler-Poincaré karakteristiğinin sıfır olduğu görülür.

Bu garip yüzey, Klein şişesinin dört mümkün gömülmesinden birine dönüşmelidir, ama hangisine? Her durumda, bir 8'in bir ekseni etrafında döndürülmesiyle, aynı zamanda kendisi bir yarım tur dönerken elde edilen bir örnek burada:

Önceki Sayfa

Cross Cap'ın Boy'a Dönüşümüne Dön

Yenilikler Bölümüne Dön Kılavuz Bölümüne Dön Ana Sayfaya Dön

25 Kasım 2004'ten beri ziyaretçi sayısı:

Resimler