Matematiksel Modellerde Yüzeylerin Geometrisi

Cross Cap Yüzeyini Boy Yüzeyine (sağ veya sol, tercihe bağlı) dönüştürmek

Steiner'in Romalı Yüzeyi aracılığıyla.

İtalyanca: Andrea Sambusetti, Roma Üniversitesi

../../Crosscap_Boy1.htm

27 Eylül - 25 Ekim 2003

Sayfa 4

Modeli başka bir açıdan da sunuyoruz:

Tablo 14: Aynı işlemi tekrarlayarak kesişme eğrisinin üçüncü "kulak" kısmını oluşturuyoruz. Çokgen modelde bu son kısım, ortak bir köşesi olan üç kare şeklinde: üç katlı nokta T.

Tablo 15: Nesneyi döndürerek, Topologicon'da sunduğum çokgen Boy yüzeyinin versiyonunu bulacaksınız (bunun yapım planını da orada bulabilirsiniz).

Son tablo: Steiner yüzeyinin nasıl kıvrıldığını ve Boy yüzeyine nasıl dönüştüğünü göstermeye çalıştım.

Gördüğümüz gibi, "yuvarlak" bir şekilde çizildiğinde, bunu anlamak için oldukça fazla pratik gerekiyor. Gözümüz, aynı görünüş çizgisi üzerinde iki yüzeyden fazlasının üst üste gelmesini anlamakta oldukça zorlanıyor. Bu yüzden çokgen modelin önemi ortaya çıkıyor; sadece kendi kendinize model yapmaya çalışırsanız, geometride karmaşık görünen dönüşümleri herkesin ulaşabileceği hale getiriyor. Şunu da not edelim ki, seçilen kuspuç noktaları çiftlerine göre, sağ veya sol Boy yüzeyi elde edilir (tamamen rastgele tanımlamalar). Proyeksiyon düzlemi, iki birbirine yansıyan "anti-otomorf" temsillerle uzayda gömülebilir. Bu yüzden, sağ Boy yüzeyinden sol Boy yüzeyine geçişin, Steiner'in Romalı Yüzeyi olan "merkezi" bir modelle mümkün olduğunu da görüyoruz.

Bu çizimlerin Pour la Science veya La Recherche gibi dergilerde yayımlanması, kesinlikle hoş olurdu. Ama 20 yıldır, UFO izlenimciliğe sapmam nedeniyle bu dergilerde yayımlanmamam yasaklandı. Teşekkürler, Hervé This ve Philippe Boulanger. Bu tür makalelerin bu dergilere sunduğum sayısını sayamadım ve nazikçe reddedildi. Sonunda kendi kovulmuş durumuna alıştık.

Anekdotik olarak, matematiksel popülerleştirmeye yönelik kitaplar için "Alembert Ödülü" adında bir ödül var. Bu hikâyeyi ödül karar verme komitesinin bir üyesi bana anlattı (elbette para sorunu da var). Diyalog:

• Peki neden Petit'e ödül vermiyoruz? "Géométricon", "Trou Noir" ve "Topologicon" gibi önemli eserler yazdı.

• Evet, ama bununla sınırlı değil.

• Ne demek istiyorsun?

• "Mur du Silence" adlı kitabı da yazdı.

• Ah, o zaman...

Evet, 1983 yılında yayımlanan "Mur du Silence", MHD'ye (Müthiş Hızlı Dinamik) adanmış bir albüm. Ve herkesin bildiği gibi, bu yemeklik bilim, uzayda süpersonik hızla hareket eden disklerin "Bang" yapmadan hareket etmesini sağlar.

« Bu bilimi gizle, görmeden kalmak istiyorum »

Kutularımda, Morin'ın varyantının çokgen versiyonu olmayan, çok güzel bir "kubun ters çevirme" versiyonum var. Tümü de benim fikrim. Bir gün bunu da göstereceğim...

22 Ekim 2003: Sayfalarımda fazla uğraşmamış olmalıyım, sayacına göre. 13 Ekim 2003'te Château-Gombert-Marseille'deki Matematik ve Bilgisayar Merkezi'nde (CMI) Trotman'ın davetiyle bir seminer verdim. Bu fırsatla, yaklaşık otuz adet kartondan yapılan model koleksiyonumu çıkardım; bir gün bunların ilk görüntüleriyle tanışacaksınız, çünkü Christophe Tardy tarafından fotoğraflanmışlar.

Bir seminer verildiğinde, belirli bir atmosfer yaratılır. Aşağıdaki fotoğrafta, bir geometri uzmanının kafasını karıştıran bir durumu görüyorsunuz.

Arka planda, uzun süredir birlikte çalışan iş arkadaşım Boris Kolev'ın yardımıyla sergilenen modellerden bir kısmı. Bir noktada şu soruyu sordum:

• Bu Steiner'in Romalı Yüzeyini daha önce kim gördü? Elini kaldırsın.

Hiç kimse görmedi. Bu yüzden, sanal gerçeklik programıyla, yanında getirdiğim dizüstü bilgisayarda, Christophe Tardy (mühendis) ve Grenoble'deki Laue Langevin Enstitüsü'nden Frédéric Descamp'ın yardımıyla hazırladığım bir programla bu nesneyi sunmak faydalı oldu. Açıkçası, bu sunum, matematiksel yüzeylerin istedikleri gibi döndüğünü görmeye alışık olmayan izleyiciyi şaşırttı.

Ön plana çıkan iki karton tablo, modellerin mantıklı sırayla sunulmasını sağladı. Yeşil ve sarı modeller, kuspuç çiftlerinin oluşum ve çözülmesi için temel araç olan çokgen biçimdeki aracı gösteriyor. Daha uzakta, bir çokgen biçimde Cross Cap yüzeyi; önce Steiner'in Romalı Yüzeyi'nin çokgen versiyonuna, sonra bir metre ileride, isteğe bağlı olarak sağ veya sol Boy yüzeyine dönüşüyor.

Modellerin analizi, izleyici arasında çeşitli gözlemler doğurdu. Bir geometri uzmanı sordu:

• Eğer bu modellerin sırasıyla takip edilmesiyle Cross Cap yüzeyinden Boy yüzeyine geçilebiliyorsa, ters yönde izlenen süreçle Boy yüzeyinden Cross Cap yüzeyine dönüşün mümkün görünüyor.

Bunu onayladım. Cesaretlenen konuşmacım ekledi:

• O zaman, Steiner'in Romalı Yüzeyi aşamasında durursak, başlangıçtaki Boy yüzeyine göre yansıtılmış bir Boy yüzeyine dönmek mümkün olmalı.

Bunu ikinci kez onayladım. Ama ne yazık ki, bu garip dünyada kapalı yüzeylerin kuspuç noktaları çiftler halinde oluşturulup çözülebileceği, bu noktaların birleşimiyle yüzeylerin gömülmesinin bir tür uzantısını oluşturduğu, bu tür gömülme süreçlerini anlamaya çalışan biri ortaya çıkmadı. Bu yüzden "toplam gömülme" (summersion) terimi uygun görünüyor. Bu konuda bir açıklama yapabilecek bir okur, memnuniyetle karşılanacaktır.

Kuspuç noktasında yoğunlaşmış eğrilik.

Bu eğrilik, köşedeki açıların toplamını hesaplayıp, bu toplamı Öklid düzleminde elde edilen sonuçla (2p) karşılaştırarak hesaplanır.

Solda üstte, kuspuç noktasının birçok mümkün çokgen temsillerinden biri görüyorsunuz. Yüzeyi "açtığınızda", açıların toplamı 2p değerinden 2a kadar fazla oluyor. Bu yüzden, bu nokta C etrafında yoğunlaşmış açısal eğrilik -2a olur. Eğer a açısı p/2 ise, negatif eğrilik -p olur (aşağıda solda). Aslında, bir kuspuç noktasının eğriliği sonsuz sayıda değer alabilir. Aşağıda sağda, açısal toplamı daha da artırıyoruz ve eğrilik artık < -p oluyor (negatif eğrilik artıyor).

Ters yönde işlem yaparsak, oldukça şaşırtıcı bir duruma ulaşabiliriz: C noktasında yoğunlaşmış eğrilik (açısal) ... sıfır olabilir:

Şimdi, her biri eğriliği -p olan iki kuspuç noktası bulunan Cross Cap yüzeyinin bir çokgen temsiline başlıyoruz:

Bu şekilde, +p/2 değerinde sekiz "pozikon" var. Dört adet +p/4 eğrilikli "pozikon" ve dört adet -p/4 eğrilikli "negaikon" ekliyoruz.

İki kuspuç noktası da -p eğrilikli.

Toplam: 2p

Bu "toplam eğrilik" değerini 2p'ye böldüğümüzde, herhangi bir proyeksiyon düzleminin (veya Boy yüzeyinin) Euler-Poincaré karakteristiğini elde ediyoruz.

Seminerde, küre ters çevirme işlemiyle bir Cross Cap yüzeyinin iki kuspuç noktasının nasıl yer değiştirebileceğini anlattım. Bu konuyu web sitelerimde bir yerde mi sunduğumu artık hatırlamıyorum. Çok karışık bir şey. Aramalıyım, yoksa ekleyeceğim. Eğlenceli. Ancak, bu işlemi seminerde bulunanlardan biri hiç beğenmedi:

• Petit, Cross Cap yüzeyinin iki kuspuç noktasını birleştiren simetriyi kanıtlamak için neden bu kadar karmaşık bir araç kullanıyor? Çok daha basit bir şekilde yapılabilir.

Ve tahtaya, iki cetvelin birbirine değdiği, bir küre üzerindeki bir çizim yaptı. Bu çizim gerçekten, iki kuspuç noktasında birbirine temas eden bir çizgi şeklinde kesişme oluşturuyordu, Cross Cap yüzeyi gibi. Ne yazık ki, bu kişi fark ettiğinde, bu aslında Cross Cap yüzeyi değildi.

• Tanrım, o zaman ne oluyor? Diye sordu biri.

Sadece iki kuspuç noktasıyla bir kürenin gömülmesidir. Bu iki nokta bir noktaya yaklaştırılırsa, kesişme çizgisi bir çembere dönüşür. Sonuçta (aşağıda sağda), standart gömülme haline getirmemiz gereken bir küre gömülmesi elde ederiz. Bu yüzey için bir çokgen temsili de sunabiliriz:

Bu, toplam eğriliği 2p olan iki yüzlü bir yüzeydir.

Bu "toplam gömülme" ile oldukça eğlenceli şeyler yapabiliriz. Örneğin, sonsuz işareti bir eksen etrafında döndürülerek elde edilen bir torusun gömülmesini düşünelim:

Kuspuç noktalarının tek bir noktaya birleştirilmesi tekniği, yukarıdaki çizimlerde gösterildiği gibi, torusun standart gömülmesine hızlı bir şekilde ulaşmamızı sağlar.

Ama her zaman bu kadar kolay ve açık olmuyor. Örneğin, bir küre iki doğru parçası arasında sıkıştırıldığında, bu kez bu doğru parçaları çapın altındadır. Yine iki kuspuç noktası elde ederiz.

Bu yüzey, bir Möbius şeridi içerdiği için tek yüzlüdür. Yanında, toplam eğrilik hesaplanabilmesi için çokgen bir temsili sunuldu. Sonuçta sıfır bulduk. Yanlışım yoksa, bu yüzden bir Klein şişesi olmalı. Genellikle, klasik gömülmesiyle bilinen bir Klein şişesi vardır; burada kesişme çizgisi basit bir çemberdir. Ama başka gömülme biçimleri de vardır, bunlardan biri de buradaki. Şunu itiraf etmeliyim ki, bunu geleneksel bir Klein şişesine dönüştürme yolunu henüz bulamadım. Ayrıca, bu "gömülme" ile klasik gömülmenin aynı homotopi sınıfında olup olmadığını da bilmiyorum (örneğin, küre için sadece bir tane var). Önceden kesinlikle öyle olmayabilir: çünkü torus, üç boyutlu uzayda dört farklı şekilde gömülebilir ve bunlar düzenli homotopiyle birbirine dönüştürülemez. Bu durumda mümkün olup olmadığına dair keşfedilmesini beklerken, ekstra iki kuspuç noktası ekleyerek iki Cross Cap'ı bir boruyla birleştirdim. Bunu parçaladığımızda, Euler-Poincaré karakteristiğinin sıfır olduğu görüldü.

Bu garip yüzey, Klein şişesinin dört mümkün gömülmesinden birine dönüşmelidir, ama hangisine? Her durumda, bir 8'in bir ekseni etrafında döndürülmesiyle, aynı zamanda kendi etrafında yarım tur atmasıyla elde edilen birini burada görüyorsunuz:

Önceki Sayfa

Cross Cap'ı Boy'a Dönüştürme Sayfasına Dön

Yenilikler Bölümüne Dön Kılavuz Bölümüne Dön Ana Sayfaya Dön

25 Kasım 2004'ten beri ziyaretçi sayısı:

Resimler