Küre topolojisi matematiksel modeller
İtalyanca: Andrea Sambusetti, Roma Üniversitesi
buraya tıklayın 1:1 ölçekli modelin çizimini görmek, yazdırıp kesmek için.
İki farklı renkte bristol karton üzerine dört adet kopya yaparak, montaj talimatlarını takip ederek kendi modelinizi oluşturabilirsiniz.
Bu web sitesinin başlangıç sayfasının sol tarafında sürekli dönen garip bir nesne görmüşsünüzdür. Bu ne?
Bir gün zaman bulursam, bu sitede 1979 Ocak sayısında Pour la Science'da gösterdiğim gibi, kürenin ters çevirilmesiyle ilgili bir açıklama ekleyeceğim... yani... 22 yıl önce! Bu, birçok detay ve bir giriş gerektirecek. "Küreyi ters çevirmek" ne demek? Küre, sıradan bir insan için sabit bir O noktasından R uzaklıkta bulunan uzaydaki noktaların kümesidir. Ancak bir geometri uzmanı, bir patates gibi "deforme edilmiş" bir küre bile "küre" olarak adlandırmaya devam eder. Bu kavramları daha net anlamak için Lanturlu'nun "Topologicon" adlı çizgi romanı içeren CD'sini edinin. Ancak matematikçi daha da ileri gider. Bir yüzeyin her noktasında bir teğet düzlem tanımlanabiliyorsa, o yüzeye "düzgün" denir. Bu, patatesin sonsuz sayıda farklı şekillerinde, yüzey alanının da istenilen şekilde değiştirilebileceği sonsuz sayıda düzgün deformasyonun mümkün olduğunu gösterir. Bununla birlikte, fiziksel evrenimizde bir kişi kürenin yüzeyini içten dışa çevirmeye (yani iç yüzeyi dışa döndürmeye) çalışırsa, yüzeyinin kendini geçmesini engelleyecek bir engelle karşılaşır. Bu varsayımı kabul edersek, yani yüzeyin kendini geçmesini veya sadece dokunmasını da yasaklarsak, matematikçi bu duruma S2 küresinin "gömülmesi" der. Ancak matematikçi her şeyi yapabilir. O için bir küre, malzeme değil, "sanal" bir nesnedir ve bir yüzeyin bir kısmının geçmesi mümkün kabul edilir. Aşağıdaki çizimler, kendini geçmeyi gösterir. Böyle bir geçişe izin veren bir temsil, "gömülme" olarak adlandırılır.
Böyle bir gömülmede, kendini geçişlerin bir kümesi vardır (burada basit bir dairesel eğri söz konusudur). Ancak teğet düzlem sürekli değişmelidir. Bu durumda, yukarıdaki çizime bakıldığında, yüzeyin iç kısmının (yeşil renkle gösterilmiştir) dışa doğru getirildiği görülmektedir. Ters çevirme tamamlanması için bu tür bir ekvatoral borusu sıkıştırılmalıdır. Burada bir sorun görünüyor: Bu sıkıştırma, teğet düzlemin sürekliliğini bozacak ve bu dönüşüm, bir gömülme olmayan bir adım içerir.
Bir gün Amerikalı bir matematikçi, Stephen Smale, "S2 küresinin yalnızca bir gömülme sınıfı vardır" olduğunu kanıtladı. Bu gizemli ifadenin bir sonucu, standart küreden antipodal (karşı) gösterimine, yani her noktanın karşı noktasıyla değiştirildiği gösterime, sadece gerçek gömülme içeren bir dönüşümle geçilebileceğiydi. Kısaca... ters çevrilmiş bir küre. Smale'ın başı Raoul Bott'tu. Bu gerçekliğin formel kanıtı oldukça doğru görünse de, kimse bu ters çevirme işlemini somut olarak gerçekleştirebiliyordu. Bott, Smale'a sürekli "Nasıl yapacağını gösterebilir misin?" diye soruyordu. Smale, bilinen gibi, kibarlık göstermeden, "Bunun hakkında hiçbir fikrim yok" diyorlardı. Daha sonra Smale, matematikteki Nobel'e denk gelen Field Madalyası'nı aldı. Şaka yapmak gerekirse, belki de matematik için Nobel ödülü olmamasının nedenini merak ediyorsunuzdur. Cevap basit: O'nun karısı bir matematikçiyle kaçtı.
Bu durum yıllarca böyle devam etti, sonra 1967'de Amerikalı bir matematikçi olan Anthony Phillips, Scientific American'da bu ters çevirme işleminin çok karmaşık bir ilk versiyonunu yayınladı. İkinci versiyonu 1970'lerin başında, görme engelli Fransız matematikçi Bernard Morin tarafından icat edildi. Ben, bu dönüşüm dizisini ilk olarak çizdim ve bu, size zaten duyurduğum gibi, bu sitede yakında yayınlanacak bir makalenin konusu olacak, ayrıca oldukça zengin bir içerikle. Ancak bu durum bizi şu düşüncelere götürür: Yüzeyler çokgen biçimde temsil edilebilir. Bir küp veya tetrahedron, bu nesnelerin aynı topolojiye sahip olması nedeniyle kürenin çokgen temsilleri olarak kabul edilebilir. Bu konuda, benim Topologicon'umu inceleyin. Ayrıca, eğer küreyi ters çevirmek mümkünse, bir küpü de ters çevirmek mümkün olacaktır. Bernard Morin tarafından icat edilen dönüşüm (1979'da Pour la Science'da gösterdiğim gibi), bir merkezi model üzerinden geçer. Bu dizide bir simetri vardır. Bunu "dört kulaklı merkezi model" olarak adlandırıyorum. Şimdiden bazı şeyleri öne çıkarıyorum. Ancak, küre çokgen temsillere uygunsa, bu dönüşümün sonraki adımları da aynı şekilde olabilir. Sitenizin başlangıç sayfasında dönen şey, yaklaşık on yıl önce icat ettiğim, kürenin ters çevirme merkezi modelinin çokgen biçimidir. Bu çokgen modellerin ilginç yanı, düz yüzeylerle inşa edilebiliyor olmalarıdır. Ayrıca kağıt ve makasla da yapılabilirler. Aşağıdaki çizime bir göz atın (öncelikle arkadaşım Christophe Tardy'ye teşekkür ederim, doğru ölçülerde elemanları üretmiştir).
Burada bir montaj planı var, genel görünümü görüyorsunuz. Ancak yazdırmak için, découpage sayfasına geçmeniz daha uygun olur. O sayfayı yazdırın. Daha sonra, normal yazıcınızdan yazdırılmış bir örnek alarak, bunun dört adet kopyasını çıkarın, iki tanesini yeşil bristol karton, iki tanesini sarı renkli karton üzerine. Bu kesilebilir sayfalarla, küpün ters çevirme merkezi modelini inşa edebilirsiniz.
Kesilecek parçalarda a, b, c, d, e, f, ... gibi harf çiftleri vardır. Aynı harfleri birbirine getirmek için kağıdı katlayın ve yüzeyleri şeffaf bantla sabitleyin. Aşağıdaki çizimler, dört parçadan birinin nasıl monte edileceğini gösterir. Önce dört elemanlardan birinin nasıl katlanacağını görelim:
Aşağıda, dört elemandan ikisi farklı açıdan görünümü gösterilmiştir.
Daha sonra, dört katlı simetriye sahip bir nesne oluşturacak şekilde, yeşil ve sarı elemanları sırayla yerleştirin. Üç boyutlu görünümünü görmek için Tardy'nin "sanal gerçeklik" bölümüne bakın. Merkezi model bu bölüme göre monte edilmiş ve "vrml" formatında da oluşturulmuştur. Aşağıda, farklı açılarla bu modelin resimleri yer almaktadır:
"Yukarı" ve "aşağı" gibi bir etiketleme yapmak mümkün değildir çünkü bu tanımlamalar tamamen rastgeledir. Sol taraftaki resimde "merkez" noktası, Morin'ın merkezi modelinin "çift noktaları" (iki yüzeyin kesiştiği yer) olarak karşılık gelirken, sağ taraftaki resimdeki "merkez" noktası aynı modelin "dört katlı noktası" (dört yüzeyin kesiştiği yer) olarak karşılık gelir. Neden bir resimde "svastika" izlenimi vermemesi için nesneyi çok dikkatli bir şekilde yönlendirmek zorunda kaldım. Bunun dışında, mimari açıdan, Morin'ın merkezi modelinin bu çokgen temsili, Sosyalist Ulusal Kültür Evi projesi için oldukça iyi bir fikir olabilirdi.
Son bir gözlem: Kürenin (ya da küpün) ters çevirilmesi için iyi bir çokgen temsili yoktur. "İyi" kelimesi, yukarıdaki model gibi, kesilebilir sayfalar halinde kolayca tanımlanabilen, yeterince açıklayıcı bir model dizisini kasteder. Bu yönde bir çalışma yapılabilir, matematikçi olmayan herkesin bile yapabileceği bir çalışma, örneğin bir heykeltıraşın. Otuz yıldan fazla bir süre önce, Aix-en-Provence'deki Beaux-Arts Akademisi'nde heykel dersi veriyordum, o dönemde iyi bir arkadaşım olan Jacques Boullier başkanlık ediyordu. Bu yerde, ilk kez, Apéry'nin vermiş olduğu ilk açık denklemi oluşturmak için temel olan, Boy yüzeyinin elipslerle temsili ilk kez ortaya çıktı. Şunu söylemeliyim ki, o zamanlar sanat öğrencilerinin geometrik hayal gücü, hatta bazı geometrik uzmanlarınkinden bile daha fazlaydı.
31 Aralık 2001 tarihinde kurulmuş sayac. Bağlantı sayısı :
En Yeni Sayfaya Dön Ana Sayfaya Dön
Resimler
