Küre topolojisi matematik modelleri
İtalyanca: Andrea Sambusetti, Roma Üniversitesi
buraya tıklayın 1:1 ölçekli modelin çizimini, yazdırıp kesmek için görüntülemek için.
İki farklı renkte karton kâğıda dört örnek fotokopi ederek, montaj talimatlarını takip ederek kendiniz modeli yapabilirsiniz.
Bu web sitesinin başlangıç sayfasının sol tarafında, kesintisiz dönen tuhaf bir nesne görmüşsünüzdür. Bu ne?
Bir gün zaman bulursam, bu sitede 1979 Ocak sayısında Pour la Science'da gösterdiğim gibi, kürenin ters çevrilmesi hakkında bir açıklama ekleyeceğim... yani... 22 yıl önce! Bunun için birçok detay ve bir giriş gerekli olacaktır. "Küreyi ters çevirmek" ne demek? Küre, genel insan için sadece sabit bir O noktasından R uzaklıkta bulunan uzaydaki noktaların yeridir. Geometri uzmanı ise, bir patates gibi "bükülmüş bir küre" gibi görünen bir nesneyi de yine "küre" olarak adlandırır. Bu kavramları daha net anlamak için Lanturlu'nun "Topologicon" adlı çizgi romanı içeren CD'sini edinin. Ancak matematikçi daha da ileri gider. Bir yüzeyin her noktasında bir teğet düzlem tanımlanabiliyorsa, o yüzeye "düzgün" denir. Bu, patatesin sonsuz sayıda farklı şekliyle mümkün olan sonsuz sayıda düzgün bükülme olasılığı anlamına gelir ve bu yüzeyin alanı da istenilen şekilde değişebilir. Bununla birlikte, fiziksel evrenimizde, bir kişi küreyi ters çevirmeye (yani yüzeyin iç kısmını dışa dönüştürmeye) çalışırsa, yüzeyinin kendisini geçmesini engelleyen bir engelle karşılaşır. Bu varsayımı kabul edersek, yani yüzeyin kendisini geçmesini veya hatta sadece dokunmasını yasaklarsak, matematikçi S2 küresinin "gömülmesi"nden bahseder. Ancak bir matematikçi her şeyi yapabilir. O için bir küre, bir "sanal" ve maddi olmayan bir nesnedir ve bir yüzeyin geçmesi mümkün kabul edilir. Aşağıdaki çizimler, kendisini geçerek bir kürenin nasıl görüneceğini gösterir. Bu tür geçişleri kabul eden bir temsil, "gömülme" olarak adlandırılır.
Böyle bir gömülmede, kendine kesim noktaları (burada basit bir dairesel eğri) vardır. Ancak teğet düzlem sürekli değişmelidir. Bu durumda, yukarıdaki çizime bakıldığında, yüzeyin iç kısmının (yeşil ile gösterilen) dışa dönüştüğü görülebilir. Ters çevirme tamamlanması için bu tür bir ekvatoral borusu sıkıştırılması gerekir. Burada bir sorun gibi görünür: Bu sıkıştırma teğet düzlemin sürekliliğini bozar ve bu dönüşüm bir gömülme olmayan bir adımdan oluşur.
Bir gün Amerikalı bir matematikçi, Stephen Smale, "S2 küresinin yalnızca bir gömülme sınıfı vardır" olduğunu kanıtladı. Bu gizemli ifadenin bir sonucu, standart küreden, her noktanın antipodal noktası ile değiştirildiği "antipodal" temsiline geçmenin, sadece gerçek gömülme içeren bir dönüşümle mümkün olabileceğiydi. Kısaca... bir ters çevrilmiş küre. Raoul Bott, Smale'in başıydı. Bu gerçekliğin formel kanıtı oldukça doğru görünse de, kimse bu ters çevirme işlemini somut olarak gerçekleştirebiliyordu. Bott, Smale'e sürekli "Nasıl yapacağını gösterebilirsin?" diye soruyordu. Smale ise, bilinen bir şekilde, "Bir fikrim bile yok" diye cevap veriyordu. Smale daha sonra matematikteki Nobel'e denk gelen Field Madalyasını aldı. Şaka yapmıyorum, belki de matematik için Nobel ödüllü bir şey olmamasının nedenini merak ediyorsunuz. Cevap basit: O'nun karısı bir matematikçiyle kaçtı.
Bu durum yıllarca böyle devam etti. Sonra 1967'de Amerikalı bir matematikçi olan Anthony Phillips, Scientific American'da bu ters çevirme işleminin çok karmaşık bir ilk versiyonunu yayımladı. İkinci versiyonu, 1970'lerin başında, görme engelli Fransız matematikçi Bernard Morin tarafından icat edildi. Ben, bu dönüşümlerin sırasını çizmenin ilk kişiydim ve bu, size zaten duyurduğum gibi, bu sitede yakında yayınlanacak bir makalenin konusu olacak, ayrıca oldukça zengin bir içerikle. Ancak bu durum bizi şu düşüncelere götürür: Yüzeyler çokgen biçiminde temsil edilebilir. Bir küp veya tetrahedron, bu nesnelerin aynı topolojiye sahip olduğu anlamında, kürenin çokgen temsilleri olarak kabul edilebilir. Bu konuda, benim Topologicon'umu inceleyin. Ayrıca, eğer küreyi ters çevirmek mümkünse, bir küpü de ters çevirmek mümkün olur. Bernard Morin tarafından icat edilen dönüşüm, merkezi bir modele dayanır. Bu dizide bir simetri vardır. Bunu "dört kulaklı merkezi model" olarak adlandırıyorum. Şimdiden bazı şeyleri öne çıkarıyorum. Ancak, küre çokgen temsillere uygunsa, bu dönüşümün sonraki adımları da aynı şekilde çokgen temsillere uygun olur. Bu sitede dönen şey, yaklaşık on yıl önce icat ettiğim, kürenin ters çevirme merkezi modelinin çokgen biçimindeki versiyonudur. Bu tür çokgen modellerin ilginç yönü, düz yüzeylerle yapılabilmesidir. Ayrıca kağıt ve makasla da yapılabilir. Aşağıdaki çizime bir bakın (arka planda arkadaşım Christophe Tardy'ye teşekkür ederim, doğru ölçülerde elemanları üretmiştir).
Burada bir montaj planı var, genel görünümü görebilirsiniz. Ancak yazdırmak için, "kesim" sayfasına geçmeniz daha uygun olur. Yazdırın. Daha sonra, normal yazıcınızdan yazdırılan bir örnek alarak, bunun 4 kopyasını, iki tane yeşil, iki tane sarı karton kâğıda fotokopi edin. Bu kesilebilir sayfalarla, küpün ters çevirme merkezi modelini yapabilirsiniz.
Kesilecek parçalarda a, b, c, d, e, f gibi harf çiftleri vardır. Aynı harfleri birbirine getirerek kağıdı katlayıp, sayfaları şeffaf bantla sabitleyin. Aşağıdaki çizimler, dört parçadan birinin nasıl monte edileceğini gösterir. Önce dört elemandan birinin nasıl katlanacağını görelim:
Aşağıda farklı açıdan görünen iki parçayı görüyorsunuz.
Daha sonra dört katlı bir simetriye sahip bir nesne oluşturacak şekilde, yeşil ve sarı parçaları sırayla yerleştirin. Üç boyutlu görünümünü görmek için Tardy'nin "sanal gerçeklik" bölümüne bakın. Merkezi model bu bölüme göre monte edilmiş ve "vrml" biçiminde de oluşturulmuştur. Aşağıda, bu modelin çeşitli açıdan görüntüleri yer alıyor:
"Yukarı" ve "aşağı" gibi birer noktanın "üste" ve "altta" olduğunu söylemek mümkün değildir çünkü bu adlandırmalar tamamen rastgele seçilmişlerdir. Soldaki resimde orta nokta, Morin'in merkezi modelinde iki yüzeyin kesiştiği "çift noktaya" karşılık gelirken, sağdaki resimde orta nokta aynı modelde dört yüzeyin kesiştiği "dört noktaya" karşılık gelir. Bu nesneyi, sol taraftaki resimde bir "svastika" yaratmaması için çok dikkatli bir şekilde yönlendirmem gerekiyordu. Bunun dışında, mimari açıdan, Morin'in merkezi modelinin bu çokgen temsili, Ulusal Sosyalist Kültür Evi projesi için oldukça iyi bir fikir olabilirdi.
Son bir gözlem: Kürenin (veya küpün) ters çevirme işleminin iyi bir çokgen temsili yoktur. "İyi" kelimesi, yukarıdaki modelde olduğu gibi, görsel olarak oldukça açıklayıcı ve kesilmesi nispeten kolay olan sayfalar halinde tanımlanabilen bir dizi model anlamına gelir. Bu yönde bir çalışma yapılabilir, matematikçi olmayan biri bile, örneğin bir heykeltıraş, bu çalışmayı yapabilir. Otuz yıldan fazla bir süre önce, Aix-en-Provence'deki Beaux-Arts Okulu'nda heykel dersi veriyordum, o zamanlar kendi yakın arkadaşım Jacques Boullier buranın müdürüydü. Bu yerde, ilk kez Apéry'nin vermiş olduğu gizli denklemi oluşturmada anahtar olan, elipslerle yapılan Boy yüzeyinin ilk meridyen temsili doğdu. Şunu söylemeliyim ki, o dönemde sanat öğrencilerinin geometrik hayal gücü, hatta bazı durumlarda, "geometrikçilerin"kinden daha üstündü.
Sayım 31 Aralık 2001 tarihinde kuruldu. Bağlantı sayısı:
Yenilikler sayfasına dön Ana sayfaya dön
Resimler
