Merkezi (çok yüzlü) küpün ters çevrilmesi modeli
Küpün Ters Çevrilmesi Merkezi Modeli
31 Aralık 2001
Web sitemizin sol tarafında, sonsuz dönen garip bir nesneyi hep gördünüz. Bu nedir?
Bir gün zamanım olursa, sitede 1979 Ocak sayısında "Pour la science" dergisinde gösterdiğim gibi, küpün ters çevrilmesi hakkında bir açıklama koyacağım. Yani bu, ... 22 yıl önce. Bunun için elbette çok sayıda detay ve giriş gerekecek. Bir küpü ters çevirmek ne demek? Küp, sıradan bir insan için ve matematik-geometri uzmanı için farklı anlamlara gelir. Sıradan bir insan için, üç boyutlu uzayda sabit bir O noktasından R uzaklıkta bulunan noktaların kümesidir. Geometri uzmanı ise "küpün deforme edilmiş hali" ya da bir "patates" gibi görünen bir nesneyi hâlâ "küp" olarak adlandırır. Bu kavramları daha net kavramak için "Le Topologicon" adlı çizgi romanın bulunduğu Lanturlu CD'sini edinin. Ama matematikçi daha da ileri gider. Bir yüzey "düzgün" ise, her noktasında bir teğet düzlem tanımlanabilir. Bu, başlangıçtaki "küpün" sonsuz sayıda patatese dönüşmesini sağlar; ayrıca bu yüzeyin alanı herhangi bir değer alabilir. Ancak fiziksel bir evrende bu küpü deforme eden kişi, küpün kendisini geçmesini engelleyen bir engelle karşılaşır. Bu geçişler ya da temaslar yasaklanırsa, bunlara S2 küpünün "batırılması" denir. Ama matematikçi her şeyi yapma hakkına sahiptir. Onun için bir küp, "sanal" bir nesnedir ve yüzeylerin birbirini geçmesi mümkün hale gelir. Aşağıdaki çizimler, bir küpün kendisini geçtiği bir durumu gösterir. Böyle bir temsil, küp için "batırma" olarak adlandırılır.
Bir batırma, kendine ait bir kesişim (burada basit bir dairesel eğri) kümesine sahiptir. Teğet düzlem sürekli değişmelidir. Ama yukarıdaki çizimlere baktığımızda, küpün iç kısmının (yeşil renkle gösterilen kısım) dışa dönüştüğünü görürüz. Böyle bir ters çevirmeyi tamamlamak için bu ekvatoral bantın ezilmesi gerekir. Bu, önceden zor gibi görünür. Bu ezilme, teğet düzlemin sürekliliğini bozar. Bu yüzden bu işlem, bir "batırma olmayan" bir aşamayı içerir.
Bir gün Amerikalı bir matematikçi, Stephen Smale, "S2 küpünün yalnızca bir tane batırma sınıfı vardır" olduğunu kanıtladı. Bu gizemli ifadenin sonuçları, standart küpten "antipodal" (tüm noktaları antipodlarına karşılık gelen) temsiline geçebilir bir batırma dizisi oluşturmanın mümkün olduğunu gösteriyordu. Kısacası... ters çevrilmiş bir küp, ön-arka. Raoul Bott, Smale'in patronuydu. Smale'in saf formel kanıtı oldukça sağlam görünse de, kimse bu işlemi nasıl yapacağını göremiyordu. Bott, Smale'e sürekli "Bunu nasıl yapacağını göster bana" diye soruyordu. Smale ise, ünlü saçma sapan cevabıyla "Bir fikrim yok" diyordu. Daha sonra Smale, matematikteki Nobel'e denk gelen Fields Madalyasını aldı. Arada sırada, Nobel'in matematik için bir ödül kurmamış olmasının nedenini merak edebilirsiniz. Cevap basit: Eşi bir matematikçiyle kaçmıştı.
Bu durum, birkaç yıl boyunca değişmedi. 1967'de Amerikalı bir matematikçi olan Anthony Phillips, Scientific American'da bu ters çevirmenin ilk, çok karmaşık versiyonunu yayınladı. İkinci versiyonu, 1970'lerin başında, Fransız (körlükten dolayı) matematikçi Bernard Morin tarafından icat edildi. Ben, bu dönüşüm dizisini ilk çizdim. Daha önce de belirttiğim gibi, bu dizinin detayları yakında sitede yayımlanacak olan oldukça uzun bir makalenin konusu olacak. Yine de bu, bir yan sonuçla sonuçlanıyor. Yüzeyler çok yüzlü temsillerle gösterilebilir. Bir küp ya da bir tetrahedron, bu nesnelerin aynı topolojiye sahip olması nedeniyle, küpün çok yüzlü temsilleri olarak kabul edilebilir. Bu konuda "Le Topologicon" çizgi romanımıza bakabilirsiniz. Ayrıca, bir küpün ters çevrilmesinin mümkün olması, bir küpün de ters çevrilmesinin mümkün olduğunu anlamamızı sağlar. Bernard Morin tarafından icat edilen dönüşüm (1979 Ocak sayısında "Pour la science" dergisinde gösterdiğim) bir merkezi modele dayanır. Bu dizide bir simetri vardır. Buna "dört kulaklı merkezi model" denir. Yine de biraz önceden bahsediyorum. Ama bir küpün çok yüzlü temsilleri mümkün olduğu gibi, bu dönüşümlerin adımları da çok yüzlü temsillerle gösterilebilir. Web sitemizin başlangıç sayfasında dönen nesne, bu nedenle küpün ters çevrilmesi merkezi modelinin çok yüzlü hâlidir. Bu modeli yaklaşık on yıl önce icat ettim. Bu çok yüzlü modellerin önemli bir yönü, düz yüzeylerle yapılabilmesidir. Ayrıca kesimlerle birleştirilebilirler. Aşağıdaki çizime bir göz atın (bu çizimleri düzgün şekilde boyutlandırılmış olarak hazırlayan arkadaşım Christophe Tardy'ye teşekkür ederim).
**Bu, küçük boyutta yazdırıldığında, yazdırılan bir resimdir ve kullanılamaz. **
A4 kağıdında bu şekli yazdırın Bunun için A4 kalın kağıtta dört kopya yapmanız gerekir; iki sayfa bir renk, iki sayfa başka bir renk.
Bu, kesimlerin genel görünümüdür. Ama yazdırmak için kesim sayfasına gitmeniz daha iyi olur. Orayı yazdırın. Sonra normal yazdırıcınızdan çıkan bu kopyayı alıp, bir fotokopi dükkanına gidin ve bu çizimi dört tane tamamen aynı kopyasını, iki tane yeşil karton ve iki tane sarı karton üzerine yapın. Bu kesimlerle, küpün ters çevrilmesi merkezi modelini inşa edebilirsiniz.
Kesilen bu parçalarda, a, b, c, d, e, f gibi harf çiftleri var. Aynı harfleri birbirine getirerek katlamaları yapın ve bu yüzeyleri şeffaf bantla birleştirin. Aşağıdaki çizimler, dört parçanın birinin nasıl kurulacağını gösterir. Önce dört parçanın birinin katlanması nasıl olmalıdır:
Aşağıdaki iki resim, dört parçanın farklı açılardan görünüşleridir.
Bu parçalar, dört katlı simetriye sahip bir nesne oluşturacak şekilde birleştirilir veya yeşil ve sarı parçalar birbirini takip eder. Bunun 3 boyutlu görünümünü görmek için Tardy'nin "sanal gerçeklik"teki uygulamalarına bir göz atın. Tamamen birleştirilmiş merkezi model, bu bölümden VRML formatında da mevcuttur. Aşağıda bu nesnenin farklı açılardan görünüşleri:
Bir görünüşün "üst" diğerinin "alt" olduğunu söylemek mümkün değildir çünkü bu tanımlamalar tamamen rastgele olurdu. Sol görünüşteki "merkez" noktası, Morin'in merkezi modelinin "çift noktaları" (iki yüzeyin kesiştiği nokta) olarak karşılık gelirken, sağdaki merkez noktası aynı modelin "dört noktaları" (dört yüzeyin kesiştiği nokta) olarak karşılık gelir. Neden bu şekilde bir nesne yönelttiğimi açıklamak için çok dikkatli bir şekilde ayarladım, çünkü aksi halde, mimari açıdan bu Morin'in merkezi modelinin çok yüzlü temsili, "Ulusal Sosyalist Kültür Evine" çok uygun bir proje olabilirdi.
Son görünüş:
Son bir not: Küpün ters çevrilmesi (yani küpün ters çevrilmesi) için iyi bir çok yüzlü temsil yoktur. "İyi" kelimesi, yukarıdaki model gibi, kolayca kesimlerle kurulabilen, yeterince açıklayıcı bir dizi model anlamında kullanılır. Bu yönde bir araştırma yapılabilir; bu, herkesin yapabileceği, hatta bir matematikçi olmayan, bir ressam gibi birinin yapabileceği bir şeydir. Yirmi yıldan fazla bir süre önce, Aix-en-Provence Güzel Sanatlar Akademisi'nde, iyi arkadaşım Jacques Boullier'ın yönettiği dönemde, heykel sanatı öğretmeni olarak görev yapmıştım. Bu yerde, Boy yüzeyinin ilk meridyen temsili, elipslerle yapılmıştır; bu, Apéry'nin ilk açık denklemi oluşturmak için anahtardır. Şunu söylemeliyim: O dönemde, sanat öğrencilerinin geometrik hayal gücü, çok sık matematikçilerinkinden daha üstün olduğunu hep şaşırarak gördüm.
Sayım 31 Aralık 2001'de başlatıldı. Bağlantı sayısı :
Sanal Gerçeklik Yeniliklere Dön
Resimler
