Merkezi (çokyüzeyli) küpün ters çevrilmesi modeli
Küpün Ters Çevrilmesi Merkezi Modeli
31 Aralık 2001
Web sitemizin sol tarafında, sonsuz dönen garip bir nesneyi herkes görmüştür. Bu nedir?
Bir gün zamanım olursa, siteme 1979 Ocak sayısında Pour la science'da gösterdiğim gibi, küpün ters çevrilmesiyle ilgili bir açıklama koyacağım; yani bu tarihten itibaren... 22 yıl önce. Bu, elbette çok sayıda detay ve giriş gerektirir. Bir küpü ters çevirmek ne demek? Küp, sıradan bir insan için ve matematikçi-geometri için farklı anlamlara gelir. Sıradan bir insan için, üç boyutlu bir uzayda sabit bir O noktasından R uzaklıkta bulunan noktaların oluşturduğu yerdir. Geometri uzmanı ise, "deforme edilmiş bir küp" ya da bir "patates" gibi görünen bir nesneyi hâlâ "küp" olarak adlandırır. Bu kavramları daha iyi anlamak için, "Le Topologicon" adlı çizgi romanı taşıyan Lanturlu CD'sini edinin. Ancak matematikçi daha da ileri gider. Bir yüzey "düzgün" ise, her noktasında bir teğet düzlem tanımlanabilir. Bu, başlangıçtaki "küp"ün sonsuz sayıda patatese dönüştürülmesine olanak tanır; ayrıca bu yüzeyin alanı herhangi bir değer alabilir. Ancak fiziksel bir evrende bu küpü bükerek kendi içine geçirmek mümkün değildir. Eğer bu geçişler veya temaslar yasaklanırsa, bu durumda S2 küpünün "dökmeleri" (plungements) denir. Ancak bir matematikçi her şeyi yapma hakkına sahiptir. O için bir küp, "sanal" bir nesnedir ve yüzeylerin birbirini geçmesi mümkün hâle gelir. Aşağıdaki çizimler, bir küpün kendini geçtiği bir durumu gösterir. Böyle bir gösterime "immersiyon" denir.
Bir immersiyonun kendine ait kesişimleri (burada basit bir dairesel eğri) vardır. Teğet düzlem sürekli değişmelidir. Ancak yukarıdaki çizimlere baktığımızda, küpün bir kısmının (yeşil renkle gösterilen) iç kısmının dışa dönüştüğünü görürüz. Bu ters çevirme işlemi tamamlanmak istenirse, bu tür bir ekvatoral bantın ezilmesi gerekir. Bu durum önceden oldukça sorunlu görünür. Bu ezilme, teğet düzlemin sürekliliğini bozar. Dolayısıyla bu işlem, bir "immersiyon" olmayan bir aşamayı içerir.
Bir gün Amerikalı bir matematikçi, Stephen Smale, "S2 küpünün yalnızca bir immersiyon sınıfı vardır" olduğunu kanıtladı. Bu gizemli ifadenin bir sonucu, standart küpten "antipodal" (antipodal) gösterimine geçiş sağlayacak sonsuz sayıda immersiyon dizisini oluşturmanın mümkün olabileceğiydi; yani tüm noktaların antipodları ile değiştirildiği bir küp. Kısacası... ters çevrilmiş bir küp, ön-arka. Raoul Bott, Smale'in patronuydu. Smale'in saf formel kanıtı, kusursuz görünürken, bu işlemi nasıl yapacağını kimse göremiyordu. Bott, Smale'e sürekli "Bu işlemi nasıl yapacağını göster bana" diye soruyordu. Smale ise, ünlü saçma cevabıyla "Hiçbir fikrim yok" diye cevap veriyordu. Sonradan Smale, matematikte Nobel'e denk bir Field Madalyası aldı. Bu arada, Nobel'in matematik için bir ödül koyamamasının nedenini merak ediyorsunuzdur. Cevap basit: Eşi bir matematikçiyle kaçmıştı.
Bu durum, yıllarca değişmedi. 1967'de Amerikalı bir matematikçi olan Anthony Phillips, Scientific American'da bu ters çevirme işleminin ilk, oldukça karmaşık versiyonunu yayınladı. İkinci versiyonu, 1970'lerin başında, Fransız (körlükten dolayı) matematikçi Bernard Morin tarafından icat edildi. Ben, bu dönüşüm dizisini ilk çizdim. Daha önce de belirttiğim gibi, bu, yakında sitemizde yayımlanacak oldukça uzun bir makalenin konusu olacak. Bu noktada, bir yan sonuç elde ediyoruz: Yüzeyler, çokyüzlü (polyedrik) temsillerle gösterilebilir. Bir küp veya bir tetrahedron, bu nesnelerin aynı topolojiye sahip olmaları nedeniyle küpün çokyüzlü temsilleri olarak kabul edilebilir. Bu konuda, "Le Topologicon" çizgi romanımıza bakın. Ayrıca, bir küpün ters çevrilmesinin mümkün olmasının, bir küpün ters çevrilmesinin de mümkün olduğunu anlayabiliriz. Bernard Morin tarafından icat edilen dönüşüm (1979 Ocak sayısında Pour la science'da gösterdiğim) bir merkezi modele dayanır. Bu dizide bir simetri vardır. Buna "dört kulaklı merkezi model" denir. Yine de, biraz ilerideyim. Ancak, bir küpün çokyüzlü temsilleri mümkün olduğu gibi, bu dönüşümlerin adımları da çokyüzlü temsillerle gösterilebilir. Web sitemizin başlangıç sayfasında dönen nesne, bu nedenle küpün ters çevrilmesi merkezi modelinin çokyüzlü versiyonudur; bu modeli yaklaşık on yıl önce icat ettim. Bu çokyüzlü modellerin faydası, düz yüzeylerle inşa edilebilmesidir. Ayrıca, kesimlerle birbirine uygun şekilde düzenlenebilirler. Aşağıdaki çizime bir göz atın (bu çizimlerin doğru ölçüleriyle hazırlanmasını sağlayan arkadaşım Christophe Tardy'ye teşekkür ederim).
**Bu, küçük boyutta yazdırıldığında, yazdırılan bir resim olur ve kullanılamaz. **
A4 kağıdına bu şekli yazdırın Bunun için, A4 kalın kağıt üzerinde dört kopya yapmanız gerekir; iki sayfa bir renk, iki sayfa başka bir renk.
Bu, kesimlerin genel görünümüdür. Ancak yazdırmak için, lütfen kesim sayfasına geçin. Orayı yazdırın. Daha sonra, normal yazdırıcınızın kağıdında yazdırılmış bu örneği alıp, bir fotokopi dükkanına gidin ve bu çizimi, iki tane yeşil ve iki tane sarı karton kağıda tamamen aynı şekilde dört kopya yapın. Bu kesimlerle, küpün ters çevrilmesi merkezi modelini inşa edebilirsiniz.
Bu kesilmiş parçalarda, a, b, c, d, e, f gibi harf çiftleri vardır. Aynı harfleri birbirine getirerek katlamaları yapın ve bu yüzeyleri şeffaf bantla birleştirin. Aşağıdaki çizimler, dört parçadan birinin nasıl monte edileceğini gösterir. Önce dört parçadan birinin katlanışı nasıl olmalıdır:
Aşağıda, bu dört parçadan iki tanesi farklı açılarla gösterilmiştir.
Bu parçalar, dört katlı simetriye sahip bir nesne oluşturacak şekilde birleştirilir veya yeşil ve sarı parçalar birbirine sırayla yerleştirilir. Bunun 3 boyutlu görünümünü görmek için, Tardy'nin "sanal gerçeklik"teki çalışmalarına bir göz atın. Tamamen monte edilmiş merkezi model, bu bölümden VRML formatında da mevcuttur. Aşağıda, bu nesnenin farklı açılardan görünümü:
Bir görünümün "üst" diğerinin "alt" olduğu söylenemez çünkü bu tanımlamalar tamamen rastgeledir. Sol görünümdeki "merkez" noktası, Morin'in merkezi modelindeki "çift nokta"yı (iki yüzeyin kesiştiği yer) temsil ederken, sağdaki merkez noktası aynı modeldeki "dört nokta"yı (dört yüzeyin kesiştiği yer) temsil eder. Neden bu şekilde bir nesne yöneltildiğine dikkat ettim ki, sol görünümde bir "gammalı çapraz" (kross) izlenimi yaratmasın. Aksi halde, mimari açıdan, Morin'in merkezi modelinin bu çokyüzlü temsili, oldukça iyi bir "Ulusal Sosyalist Kültür Evi" projesi olabilirdi.
Son görünüm:
Son bir not: Küpün ters çevrilmesi (yani küpün ters çevrilmesi) için iyi bir çokyüzlü temsili yoktur. "İyi" kelimesi, yukarıdaki model gibi, kolayca kesimlerle monte edilebilecek yeterince açıklayıcı modeller dizisini ifade eder. Bu yönde bir araştırma yapılabilir; bu, herkesin yapabileceği, hatta matematikçi olmayan bir plastik sanatçı gibi biri tarafından bile yapılabilir. Yirmi yıldan fazla bir süre önce, Aix-en-Provence'deki Beaux-Arts Okulu'nda, iyi arkadaşım Jacques Boullier'ın yönettiği dönemde, heykel sanatı öğretmeniydim. Bu yerde, Apéry'nin ilk açıklayıcı denklemini oluşturmak için anahtar olan, elipslerle yapılan ilk "Boy yüzeyi" temsili doğdu. Bu dönemde, sanat öğrencilerinin geometrik hayal gücüne hep hayran kaldım; bu, çoğu zaman geometrik bilgisi olan matematikçilerinkinden daha güçlüydü.
Sayım 31 Aralık 2001'de başlatıldı. Bağlantı sayısı:
Sanal Gerçeklik Yeniliklere Dön
Resimler
