Без назви
30 грудня 2009 року
Я продав поверхню Боя, яку створив
Ось воно: цей об'єкт розміром 1,4 метра відправився сьогодні до Бельгії, куплений лікарем, П'єром, який одночасно є вірним читачем коміксів Лантурлу, і вже знав цей об'єкт, прочитавши альбом «Топологікон», безкоштовно завантажений із сайту «Знання без меж» за посиланням:
****http://www.savoir-sans-frontieres.com/JPP/telechargeables/Francais/topologicon.htm
«Топологікон» згадується на сторінці Вікіпедії, але посилання не веде до сторінки завантаження з сайту «Знання без меж», що дуже незручно. Хто-небудь, можливо, додаст це посилання, але я особисто не зможу, оскільки був «вічно забанений» у Вікіпедії в жовтні 2006 року (за те, що відкрив ідентичність учасника, колишнього студента Нормальної вищої школи, якому докторський диплом з теоретичної фізики, зокрема з суперструн, дозволив отримати роботу в банку).
Цей об'єкт був виставлений протягом 25 років у «кімнаті пі» Палацу Відкриття в Парижі. Я відновив його кілька років тому, коли керівництво Палацу хотіло встановити в цій кімнаті малий дерев'яний амфітеатр. Я вирішив відновити його, перш ніж він був знищений, зберіганий у якійсь складській, як «наука, що витрачається».
Коли в Палаці відбувалася виставка, присвячена різним теоріям щодо будівництва пірамід, майстерні зробили досить гарну макетну моделю, розміром 50 на 50 см, що показувала кутові елементи моєї кам'яної нахиленої дороги. Я хотів відновити цей об'єкт, але останні новини свідчать, що він зник. Можливо, як «наука, що витрачається», він потрапив у смітник. Можливо, читач зможе надати мені інформацію?
Коли відвідуєш Місто науки, вражає надмір віртуальності, екрани плазми, що показують різне. Настільки, що виникає бажання подумати: «Навіщо відвідувати ці місця, коли я можу отримати все це вдома через Інтернет?»
Віртуальні світи, наука-споживчий товар, чи маєте ви душу?
Це у моді.
Чому поверхня Боя важлива в математиці? Серед замкнених поверхонь двох вимірів, що не мають особливих точок, існує лише чотири:
| - Сфера | - Тор | - Пляшка Кляйна | - Поверхня Боя |
|---|
Перші три були нам відомі давно. Четверта була більш таємничою. Лише наприкінці 70-х років, коли я був професором скульптури в Школі прекрасних мистецтв у Альзасі, я створив першу реалізацію цієї поверхні з двома сімействами кривих, що відповідають меридіанам-паралелям сфери S2. Як видно з коміксу, поверхня, винахідництво німецького математика Вернера Боя, учня Гільберта, є результатом відображення точок сфери одна на одну, кожна точка збігається зі своїм антиподом. Таким чином, північний полюс збігається з південним. Меридіани сфери «намотуються» на меридіани поверхні Боя.
У мене відразу виникла ідея відповідати одне з сімейств кривих еліпсам.
У той час молодий Жером Соріо міг використовувати Apple II свого математичного батька. Один день я сказав йому:
- Чи бажаєш ти виконати для мене роботу, яка дозволить нам опублікуватися в галузі математики?
А Жером відповів:
- Кого мені потрібно вбити за це?
Справа була в тому, щоб виміряти еліпси за допомогою транспортира та лінійки, щоб побудувати криві, а потім їхнє представлення за допомогою ряду Фур'є. Він виконав роботу за один післяобід. Звіт до «Звітів Академії наук Парижа» пройшов без проблем. Див. цю копію звіту
Ці рівняння дозволили Колонну, керівнику першої майстерні синтезованих зображень Політехнічної школи у Парижі, створити перші зображення об'єкта, але без згадки про рівняння, які він використовував (поведінка досить поширена в «науковій громаді»).
Зображення, створене на основі представлення JP PETIT - Жером Соріо, з його трьома неприємними згинальними лініями, викликаними недостатньою кінцевою обробкою представлення Фур'є.
Пізніше представлення параметричні розширилися. Нижче — представлення Р. Брайанта:
Це друге відкриття — представлення параметричне за допомогою еліптичних меридіанів — дозволило математику Апері, учню математика Бернара Моріна з Страсбурга, побудувати перше представлення поверхні у формі неявної (шостого степеня). (У своїй дисертації він приписує це винахід пластичному майстру Максу Со, доктору зі зварювання з срібла):
f(x,y,z) = 64 (1 - z)3 z3 - 48 (1 - z)2 z2 (3x2 + 3y2 + 2z2) + 12 (1 - z) z (27 (x2 + y2)2 - 24 z2 (x2 + y2) + 36 Sqrt(2) y z (y2 - 3 x2) + 4z4) + (9x2 + 9y2 - 2z2) (-81 (x2 + y2)2 - 72 z2 (x2 + y2) + 108 Sqrt(2) x z (x2 - 3y2) + 4z4) = 0
страшенно складно.
Зображення поверхні Боя, побудоване за допомогою неявного представлення Апері, з «еліптичними меридіанами» JP Petit
На сайті Вікіпедії, на цій сторінці, можна знайти анімацію, засновану на фільмі-книжці, яку можна знайти в «Топологіконі» (1988). Те саме стосується поліедричного представлення поверхні (ще одне винахідництво вашого слуги, також присутнє в альбомі), з закругленими кутами.
У 1988 році математик Брехм запропонував інше поліедричне представлення, з десятьма гранями, і теорема вказує, що об'єкт не може мати менше 9 граней...
Гастрономічні смаки і кольори не обговорюються
Повернемося до представлення Апері — єдиного відомого неявного представлення. Чому ця поверхня так дисгармонійна (і тому її рівняння так складне)?
Апері, керований Моріном, не використав трійчастої симетрії об'єкта. Рівняння встановлює вісь OZ як вісь симетрії; це помилка. Кращий результат було б отримати, вибравши вісь симетрії вектор (1, 1, 1). Тоді трійчаста симетрія дала б рівняння, інваріантне при перестановці координат x, y, z. Більше того, розташування початку координат у точці перетину та визначення трьох дотичних площин до поверхні як основних площин призвело б до виключення членів другого, першого та нульового порядку, а член третього порядку зменшився б до
x y z
Таку симетрію використовують у поверхні, відкритій у 1844 році Штайнером у Римі, яку пізніше назвали Римською поверхнею Штайнера, рівняння якої:
Погляньмо на поверхню:
Римська поверхня Штайнера
Також складена з еліпсів, вона, як і вона, одностороння, отже, непридатна для споживання:
Сімейства еліпсів римської поверхні
Римська поверхня «ні права, ні ліва», тоді як існують дві версії поверхні Боя, енантіоморфні, дзеркальні. Поверхня Боя «права» та поверхня Боя «ліва». У 2003 році (як швидко пролітає час!) я показав на семінарі, що відбувся в відділі геометрії у Марсельському відділенні Св. Жероме, що можна перетворити поверхню Боя «права» на поверхню Боя «ліва», пройшовши через римську поверхню Штайнера.
/legacy/science/maths_f/Crosscap_Boy1.htm
Автор, що читає семінар з математики
Деякі читачі добре володіють інфографічними інструментами. Слідуючи вказаним каталогом, скануванням і інтерполяцією можна створити анімацію. Якщо хто-небудь захоче...
Цікаво, анімації. Я створив цю анімацію за допомогою програми CAD, яку створив: Screen, що представляє середню етап віддзеркалення куба (тобто поліедрична версія моделі з чотирма вухами Моріна)
Середня етап віддзеркалення куба
Тут багато чого можна зробити. Я просто хочу вказати шлях для кандидатів на докторську дисертацію з математики. Існує неявне представлення поверхні Боя, де меридіани — еліпси, і саме це рівняння ввійде в історію математики, разом з ім'ям того, хто виведе його з глибини. Його ще треба знайти. Початок: використовувати трійчасту симетрію, як зазначено вище.
Гарної полювання...
Отже, поверхня Боя, що оздоблювала кімнату пі Палацу Відкриття, відправилася до Бельгії. Було б чудово, якби з неї зробили монументальну скульптуру, «проникнутий», висотою 20 метрів. Це, принаймні, мало б виглядати вражаюче. Але ні, більшість скульптур у цьому просторі — бездушні, без структури, не мають жодної багатства.
Але я не хотів зберігати фото цього чудового об'єкта. Зрозуміло чому ---
Новинки Гід (Індекс) Головна сторінка
Зображення