групи та фізична дія супряженої групи імпульс
| 7 |
|---|
Елемент gp групи Пуанкаре Gp визначається послідовністю параметрів {pi}, кількість яких, як ми вже зазначали, відповідає розмірності групи. Матриця dg (g = e) складається з величин {dpi}. Отже, вищенаведене перетворення має вигляд:
(81)
Іншими словами, кожному набору скалярів dpi відповідає рівна кількість скалярів dpi'. Дуальність полягає в припущенні інваріантності деякого скаляра за формулою:
(82)
де n — розмірність групи (десять для групи Пуанкаре). Скаляри Ji представляють компоненти імпульсу, кількість яких така ж.
Ми вирішуємо розкласти цей імпульс J на два об'єкти. Перший — це антисиметрична матриця M розміром (4,4), що має шість компонент, а другий — «чотиривектор» P, матриця розміром (4,1):
(83)
(84) J = { M, p, E } = { M, P }
Ми запишемо скалярний добуток у вигляді:
(85)
де Tr означає «слід матриці», і ми матимемо далі:
(86)
лінійна форма, інваріантність якої гарантує дуальність.
де:
(87) (87b)
(87c)
але GG = 1, тому це дорівнює:
(88)
Порівняємо члени з y (89)
Тобто:
(90)
----> Тут йдуть деталі матричних обчислень. Якщо бажаєте, натиснувши тут, ви можете перейти безпосередньо до результату.
У сліді можна виконати циклічну перестановку доданків.
(90a)
(90b)
(90c)
другий доданок правої частини дорівнює добутку матриці-рядка на матрицю-стовпець.
Це дорівнює сліду оберненого добутку (наведено схематично: добуток матриці-рядка на матрицю-стовпець):
(90d)
У цьому сліді я можу виконати циклічну перестановку:
(90e)
Звідси:
(90f)
(90g)
Тут ми знову застосовуємо теорему про сліди матриць, що є добутком іншої матриці на симетричну матрицю.
Будь-яка матриця може бути зроблена симетричною або антисиметричною. Крім того, слід добутку матриці на симетричну матрицю дорівнює нулю.
(90h)
Я можу застосувати це до матриці (90i), оскільки береться слід:
(90j)
(90k) = sym ( ) + antisym ( )
але:
(90l)
тому:
(90m) (90n)
(90o)
(90p)
і:
(90q)
нарешті:
(90r)
Згрупувавши та помінявши місцями штрихи, отримуємо дію групи:
Зображення
