Геометрія поверхні Боя, поліедрична модель, римська поверхня Штейнера

Як перетворити поверхню Крос-Кап на поверхню Боя (праву або ліву, за бажанням), пройшовши через римську поверхню Штейнера.

Італійська: Андреа Самбусетті, університет Рима

../../Crosscap_Boy1.htm

27 вересня - 25 жовтня 2003 року

Сторінка 4

Представляємо модель з іншого ракурсу:

Таблиця 14: Ми постійно повторюємо одну й ту саму операцію, створюючи третій "вухо" кривої самоперетину. У поліедричній моделі це останнє має форму трьох квадратів зі спільною вершиною — трійною точкою T.

Таблиця 15: Повертаючи об'єкт, ви знову зустрінете поліедричну версію поверхні Боя, яку я вже демонстрував у "Топологіконі" (там ви можете знайти також план зборки, що дозволяє виготовити її самостійно).

Остання таблиця: я намагався проілюструвати, як поверхня Штейнера зігнулася і перетворилася на поверхню Боя.

Ми бачимо, що, накреслена у "круглій" формі, її дуже важко зрозуміти. Наше око дуже незручно відчувається, коли треба сприймати об'єкт, на одному візуальному промені якого перекриваються більше двох листків. Саме тому поліедрична модель має велике значення — вона робить доступними для кожного, хто спробує сам зробити мініатюри, перетворення, які в геометрії вважаються складними. Зауважимо, що, залежно від вибору пари кутових точок, отримуємо поверхню Боя "праву" або "ліву" (ці визначення повністю довільні). Проєктивна площина занурюється у простір двома "антиавтоморфними" дзеркальними представленнями. Отже, ми бачимо, що можна перейти від правої поверхні Боя до лівої поверхні Боя через "центральну" модель — римську поверхню Штейнера.

Було б дуже приємно, якби ці малюнки були опубліковані в журналах, як-от "Pour la Science" чи "La Recherche". Але вже двадцять років мені "заборонено" публікувати у цих журналах через уфологічний дисидентський підхід. Дякую, шановні Ерве Тіс і Філіпп Буленжер. Я вже не можу підрахувати кількість статей такого роду, які я пропонував цим журналам, і які мені ввічливо відхиляли. Нарешті ви звикаєте до свого статусу "забаненого".

Як цікавий анекдот: існує "Премія Аламберта", призначена для визнання авторів книг з популяризації математики. Історію мені розповів один із членів комісії, що вирішувала, кому вручити премію (зрозуміло, за гроші). Діалог:

• Ну, чому ми не вручимо премію Пітту? Він написав чудові праці, як-от "Геометрікон", "Чорна діра" та "Топологікон".

• Так, але він не тільки це написав.

• Про що ви маєте на увазі?

• Він ще написав "Стіну мовчання".

• О, гаразд, тоді...

Так, "Стіна мовчання", опублікована у 1983 році, — це альбом, присвячений МГД. І, як кожен з нас знає, ця корозійна наука має як перевагу, так і недолік — вона дозволяє літальним тілам рухатися з надзвуковою швидкістю без "буму".

« Приховайте цю науку, щоб я її не бачив »

У моїх ящиках є чудова версія "перевернення куба", яка не є поліедричною версією варіанту Моріна. Все це моє власне. Один із днів...

22 жовтня 2003 року: Не варто занадто напружуватися над цими сторінками, якщо вірити лічильнику. У понеділок, 13 жовтня 2003 року, я провів семінар у ЦМІ (Центр математики та інформатики в Чато-Гомбер, Марсель), запрошенням Тротмана. У цей час я міг витягнути колекцію близько тридцяти картонних моделей, які ви зможете побачити уперше, оскільки їх зняв Христоф Тарді.

Коли проводиться семінар, створюється певна атмосфера. На зображенні нижче — геометр, що висловлює своє невпевнення.

На задньому плані — частина моделей, виставлених з допомогою мого довголітнього співробітника, Бориса Колева, який також є геометром у цьому відділі. У певний момент я поставив запитання:

• Скільки з вас вже бачили римську поверхню Штейнера? Підніміть руку.

Ніхто її не бачив. Мені здавалося, що варто було представити цей об'єкт, використовуючи програму віртуальної реальності на ноутбуці, який я мав при собі, програму, створену з допомогою Христофа Тарді, інженера, та Фредеріка Дескампа з Інституту Лауе-Ланжевена у Грено бі (ILL). Зрозуміло, що ця презентація збентежує публіку, яка не звикла бачити математичні поверхні, що роблять вільний поворот.

Дві картонні таблиці, видні на передньому плані, дозволили представити всю послідовність моделей у логічному порядку. Зелені та жовті моделі ілюструють у поліедричній формі ключовий інструмент створення-розпаду пари кутових точок. Більш віддалений білий об'єкт — це поліедрична версія поверхні Крос-Кап, яка спочатку перетворюється на поліедричну версію римської поверхні Штейнера, а потім, на відстані одного метра, на вибір — на поверхню Боя "праву" або "ліву".

Аналіз моделей викликає різні спостереження серед публіки. Один із геометрів запитує:

• Якщо вірно, що, прослідковуючи моделі в цьому порядку, можна перейти від поверхні Крос-Кап до поверхні Боя, здається, що, використовуючи протилежний процес, можна перетворити поверхню Боя на Крос-Кап.

Я відповідаю позитивно. Підбадьорений, мій співрозмовник додає:

• Отже, якщо на етапі римської поверхні Штейнера ми зупинимося, повинно бути можливо повернутися до поверхні Боя, але відображеної відносно початкової.

Я знову погоджуюся. Але, на жаль, ніхто не зможе пояснити цей дивний світ, у якому дозволяється, щоб замкнені поверхні мали кутові точки, які створюються або зникають парами, а їхній збір утворює якесь подовження світу занурень. Слово "сумереження" мені здається зручним. Якщо читач зможе дати якісь пояснення, він буде дуже вітано.

Кривизна, зосереджена в кутовій точці.

Ми її обчислимо, додаючи кути при вершині та порівнюючи цю суму з результатом, отриманим у випадку евклідової площини: 2π.

У лівому верхньому куті ви бачите одну з багатьох можливих поліедричних представлення кутової точки. "Розбиравши" поверхню, ми отримуємо суму кутів, що перевищує значення 2π на 2α. Звідси випливає, що кутова кривизна, зосереджена навколо цієї точки C, дорівнює -2α. Якщо кут α дорівнює π/2, то від'ємна кривизна становить -π (малюнок у лівому нижньому куті). Насправді, кривизна кутової точки може набувати нескінченно багатьох значень. У правому нижньому куті ми підкреслюємо суму кутів, і кривизна стає тоді < -π (ми збільшили від'ємну кривизну).

Діючи зворотно, ми можемо досягти досить дивної ситуації: можна зробити так, щоб кривизна (кутова), зосереджена в точці C, була... нульовою:

Тепер почнемо з поліедричної представлення поверхні Крос-Кап, де є дві кутові точки, кожна з кривизною -π:

У цьому малюнку є вісім "позицій" зі значенням +π/2. Додаємо чотири інші "позиції" з кривизною +π/4 і чотири "негації" з кривизною -π/4.

Плюс дві кутові точки з кривизною -π.

Сума: 2π

Поділивши значення цієї "загальної кривизни" на 2π, ми отримуємо значення характеристики Ейлера-Пуанкаре для будь-якого представлення проєктивної площини (або поверхні Боя).

Під час доповіді я згадав мистецтво та спосіб переставляти дві кутові точки поверхні Крос-Кап, використовуючи перевернення сфери. Не пам'ятаю, чи виклав я це де-небудь на своєму сайті. Це такий заплутаний матеріал. Слід шукати, інакше додам. Це цікаво. Та, на жаль, ця операція не сподобалася одному з присутніх на семінарі:

• Не розумію, чому Піт використовує стільки апарату, щоб довести симетрію, що з'єднує дві кутові точки Крос-Кап. Це можна зробити набагато простіше.

І він на дошці намалював сфери, стиснуті між двома лінійками, які торкаються одна одної, і насправді отримав криву самоперетину у вигляді відрізка, на кінцях якого розташовані дві кутові точки, як і на поверхні Крос-Кап. На жаль, і цей чоловік усвідомив, що це не є поверхня Крос-Кап.

• Та що ж це, тоді? — запитав хтось.

Це просто занурення сфери з двома кутовими точками. Якщо звести ці точки в одну точку, то лінія самоперетину перетвориться на коло. І ми отримуємо (у правому нижньому куті) занурення сфери, яке залишається лише перетворити на її стандартне вкладення. Ми можемо також надати поліедричне представлення цієї поверхні:

Це двостороння поверхня, загальна кривизна якої становить 2π.

Отже, з цими "сумереженнями" можна дуже весело поіграти. Розглянемо занурення тора, отримане обертанням символу "нескінченність" навколо осі:

Техніка злиття кутових точок в одну точку дозволяє швидко отримати стандартне вкладення тора, як пояснено вище на малюнках у послідовності.

Але не завжди все так просто і очевидно. Наприклад, розглянемо сферу, стиснуту між двома відрізками, які тепер коротші за діаметр. Ми знову отримуємо дві кутові точки.

Оскільки ця поверхня містить стрічку Мебіуса, вона одностороння. Ми розмістили поряд її поліедричне представлення, що дозволяє обчислити її загальну кривизну. Ми отримуємо нуль. Якщо я не помиляюся, це має бути пляшка Клейна. Звичайно, відома лише класична форма занурення, у якій лінія самоперетину — просте коло. Але існують й інші, як ця. Визнаю, що ще не знайшов способу перетворити її на звичайну пляшку Клейна. Крім того, я не знаю, чи належать це "занурення" та класичне до однієї і тієї ж класи гомотопії (наприклад, для сфери є лише одна). Заперечити це не можна: тор, наприклад, може бути занурений у тривимірному просторі чотирма різними способами, які не можна перетворити одна в одну за допомогою регулярної гомотопії. Поки не встановлено, чи можливо це в цьому випадку, я змушений був насолодитися перетворенням, створивши ще дві кутові точки, отримавши таким чином дві поверхні Крос-Кап, з'єднані трубкою. Розбивши їх, ми виявляємо, що характеристика Ейлера-Пуанкаре дорівнює нулю.

Ця дивна поверхня має перетворитися на одну з чотирьох можливих занурень пляшки Клейна, але яку саме? У будь-якому разі, ось одна з них, отримана обертанням вісімки навколо осі, при цьому вона одночасно робить півоберт навколо себе:

Попередня сторінка

Повернутися до індексу "Перетворення Крос-Кап у Боя"

Повернутися до розділу Новини Повернутися до розділу Посібник Повернутися до Головної сторінки

Кількість відвідувань з 25 листопада 2004 року:

Зображення

![15](/legacy/science/maths_f/CrossCap_Boy/15