Сфера, топологія, математичні моделі
Італійська: Андреа Самбусетті, університет Рима
Натисніть тут, щоб побачити малюнок моделі в масштабі 1:1, який можна роздрукувати та вирізати.
Зробивши чотири копії на картоні різних кольорів, ви зможете самостійно зібрати модель, дотримуючись інструкцій щодо збирання.
Ви, безперечно, бачили дивний об'єкт, що безперервно обертається зліва на початковій сторінці цього сайту. Що це за об'єкт?
Одного дня, коли з'явиться час, я встановлю на цьому сайті опис перевернення сфери, як я його ілюстрував у журналі «Pour la Science» за січень 1979 року, тобто... 22 роки тому! Усе це потребуватиме багато деталей і вступу. Що означає «перевернути сферу»? Для звичайної людини сфера — це просто множина точок простору, що знаходяться на відстані R від певної фіксованої точки O. Геометр, напротилежно, продовжує називати «сферою» і об'єкт, що відповідає «деформованій сфері», наприклад, картоплі. Щоб зрозуміти ці поняття більш точно, придбайте CD Lanturlu з коміксом «Topologicon». Але математик йде далі. Поверхня називається «регулярною», коли у кожній її точці можна визначити дотичну площину. Це вже дозволяє уявити нескінченну кількість можливих регулярних деформацій сфери, у нескінченній кількості форм картоплі, змінюючи при цьому довільним чином площу цієї поверхні. Проте, у нашому фізичному світі людина, що спробує перевернути сферу (тобто вивести її внутрішню поверхню назовні), зіткнеться з неможливістю здійснити самоперетин її поверхні. Коли приймається ця гіпотеза, тобто заборонено самоперетинання або навіть дотикання поверхні, математик говорить про «вкладення» сфери S2. Але математик завжди може дозволити собі все. Для нього сфера — це «віртуальний», а не матеріальний об'єкт, у якому перетинання поверхонь вважається можливим. Послідовність малюнків нижче показує сферу, що самоперетинається. Така представлення, що дозволяє самоперетинання, називається «ін'єкцією».
Отже, ін'єкція має множину самоперетинань (тут це проста колова крива). Однак дотична площина повинна змінюватися безперервно. Після цього, коли дивитеся на малюнок вище, ви чітко бачите, що операція виводить частину внутрішньої поверхні (зображено зеленим) назовні. Щоб завершити перевернення, потрібно стиснути цей тип екваторіального «трубопроводу». Тут здається проблема: таке стиснення порушить безперервність дотичної площини, і ця трансформація міститиме крок, що не є ін'єкцією.
Одного дня американський математик Стівен Смейл довів, що «сфера S2 має лише одну клас ін'єкцій». Це таємниче твердження мало наслідком те, що можна було б перейти, за допомогою перетворення, що містить лише справжні ін'єкції, від «стандартної» сфери до її «антиподальної» представлення, тобто такого, у якому кожна точка обмінюється з протилежною: іншими словами... перевернута сфера. Рауль Ботт був керівником Смейла. Навіть якщо формальний довід цього факту здавався правильним, ніхто не здавався здатним реально виконати цю операцію перевернення. Ботт продовжував питати Смейла: «Покажіть мені, як ви б це зробили»; на що Смейл, відомий своєю прямолінійністю, відповідав: «Я навіть не маю найменшого уявлення». Пізніше Смейл отримав медаль Філда — еквівалент Нобелівської премії в математиці. За випадком, ви, можливо, запитаєтеся, чому не існує Нобелівської премії з математики. Відповідь проста: його дружина втекла з математиком.
Діло залишалося на цьому протягом досить довгого часу, доки американський математик Антоні Філліпс у 1967 році у журналі «Scientific American» опублікував першу версію цього перевернення, дуже складну. Друга була винайдена на початку 70-х років французьким математиком (незрячим) Бернардом Моріном. Я був першим, хто намалював послідовність перетворень, яка стане предметом, як я вже оголосив, наступного матеріалу на цьому сайті, що, до речі, дуже багатий. Проте все це приводить до одного роздуму. Поверхні можуть бути представлені у поліедричній формі. Куб або тетраедр можуть вважатися поліедричними представленнями сфери, оскільки ці об'єкти мають ту саму топологію. Щодо цього, зверніться до моєї «Topologicon». Крім того, зрозуміло, що якщо можливо перевернути сферу, то можливо і перевернути куб. Перетворення, винайдене Бернардом Моріном (яке я ілюстрував у статті січня 1979 року у «Pour la Science»), проходить через центральну модель. У цій послідовності є симетрія. Це те, що я називаю «центральною моделлю з чотирма вухами». Я трохи попереджаю. Проте, як сфера піддається поліедричним представленням, те саме стосується наступних кроків цього перетворення. Той об'єкт, що обертається на моїй початковій сторінці, — це поліедрична версія центральної моделі перевернення сфери, яку я винайшов приблизно десять років тому. Інтерес цих поліедричних моделей у тому, що їх можна збудувати з плоских поверхонь. Їх можна також зробити з паперу та ножиць. Подивіться на малюнок нижче (дякую, відзначаючи, моєму другові Крістофу Тарді, що створив елементи потрібного розміру).
Це схема збирання, яку ви бачите загалом. Але для друку краще перейти на сторінку «розрізання». Друкуйте її. Потім, маючи цей екземпляр, надрукований на звичайному папері вашого принтера, зробіть чотири однакові копії — дві на зеленому картоні, дві на жовтому. Ви зможете, використовуючи ці вирізані листи, зібрати центральну модель перевернення куба.
На елементах для вирізання є пари літер: a, b, c, d, e, f і т.д. Достатньо зігнути лист, зблизивши однакові літери, а потім закріпити поверхні скотчем. Наступні малюнки показують, як збирати один із чотирьох елементів. Ось як слід почати згинати один із чотирьох елементів:
Ось два із чотирьох елементів, побачені з різних кутів.
Тепер їх потрібно розташувати так, щоб утворити об'єкт з симетрією четвертого порядку, де чергуються зелені та жовті елементи. Щоб побачити це у 3D, подивіться на реалізацію Тарді у розділі «віртуальна реальність». Центральна модель зібрана і навіть реалізована у форматі «vrml» у цьому розділі. Ось вона з різних точок зору:
Неможливо сказати, що одна точка відповідає «верху», а інша — «низу», оскільки ці позначення повністю довільні. На лівому зображенні центральна точка відповідає «подвійній точці» (де дві поверхні перетинаються) центральної моделі Моріна, тоді як центральна точка на правому зображенні відповідає «четверній точці» тієї самої моделі (де чотири поверхні перетинаються). Я мав велику увагу, щоб орієнтувати об'єкт, щоб ліве зображення не нагадувало свастику. Крім того, з архітектурної точки зору, ця поліедрична представлення центральної моделі Моріна могла б стати чудовим проектом для Національної соціалістичної культурної будівлі.
Останнє спостереження: не існує хорошого поліедричного представлення перевернення сфери (або куба). Під «гарним» я маю на увазі послідовність моделей досить явних, які можна описати у вигляді вирізаних листів, відносно легко, як у випадку з вищеозначеною моделлю. Було б цікаво провести дослідження у цьому напрямку, доступне кожному, навіть непрофесіоналу, наприклад, скульптору. Більше двадцяти років тому я був викладачем скульптури в Ecole des Beaux-Arts у Акс-ан-Провансі, тоді, коли директором був мій дорогий друг Жак Булліє. У цих приміщеннях і з'явилася перша меридіанна представлення поверхні Боя за допомогою еліпсів, ключ до побудови першої неявної рівняння, яке подав Апєрі. Мушу сказати, що навіть тоді я був здивований геометричною уявою студентів-художників, яка часто перевищувала уяву... геометрів.
Лічильник встановлено 31 грудня 2001 року. Кількість підключень:
Повернутися до сторінки Новини Початкова сторінка
Зображення
