Кулі, топологія, математичні моделі
Італійська: Андреа Самбусетті, університет Рима
Натисніть тут, щоб побачити малюнок моделі у масштабі 1:1, який можна роздрукувати та вирізати.
Зробивши копії чотирьох екземплярів на картоні різних кольорів, ви зможете самостійно зібрати модель, дотримуючись інструкцій зі зборки.
Ви, без сумніву, бачили дивне об'єкт, що безперервно обертається зліва на початковій сторінці цього сайту. Що це за об'єкт?
Одного дня, коли з'явиться час, я встановлю на цьому сайті опис перевернення сфери, як я його ілюстрував у випуску Pour la Science за січень 1979 року, тобто... 22 роки тому! Це потребуватиме багато деталей і вступу. Що означає "перевернути сферу"? Для звичайної людини сфера — це просто множина точок простору, що знаходяться на відстані R від певної фіксованої точки O. Але геометр продовжує називати "сферою" навіть об'єкт, що відповідає "деформованій сфері", наприклад, картоплі. Щоб краще зрозуміти ці поняття, придбайте CD Lanturlu, що містить комікс "Topologicon". Але математик йде далі. Поверхня називається "регулярною", якщо у кожній її точці можна визначити дотичну площину. Це вже дозволяє уявити нескінченну кількість можливих регулярних деформацій сфери, у нескінченній кількості форм, подібних до форм картоплі, змінюючи при цьому довільним чином площу цієї поверхні. Проте у нашому фізичному світі людина, що спробує перевернути сферу (тобто перенести її внутрішню поверхню назовні), зіткнеться з неможливістю здійснити самоперетин її поверхні. Коли приймається ця гіпотеза, тобто заборонено самоперетинання поверхні або навіть її дотик, математик говорить про вкладення сфери S2. Але математик завжди може дозволити собі все. Для нього сфера — це "віртуальний", а не матеріальний об'єкт, у якому перетинання поверхонь вважається можливим. Послідовність малюнків нижче показує сферу, що самоперетинається. Така представлення, що дозволяє самоперетинання, називається "ін'єкцією".
Отже, ін'єкція має множину самоперетинань (тут це проста колова крива). Однак дотична площина повинна змінюватися безперервно. Враховуючи це, коли дивитесь на малюнок вище, ви чітко бачите, що операція переносить частину внутрішньої поверхні (зображено зеленим) назовні. Щоб завершити перевернення, потрібно стиснути цей тип екваторіального "трубопроводу". Тут здається проблема: таке стиснення порушить безперервність дотичної площини, і ця трансформація міститиме крок, який не є ін'єкцією.
Одного разу американський математик Стівен Смейл довів, що "сфера S2 має лише один клас ін'єкцій". Це таємнича фраза мала наслідком те, що можна було перейти, за допомогою перетворення, що містить лише справжні ін'єкції, від "стандартної" сфери до її "антіподальної" представлення, тобто такого, де кожна точка замінюється на свою протилежну: іншими словами... перевернута сфера. Рауль Ботт був керівником Смейла. Хоча формальний довід цього факту здавався правильним, ніхто не міг уявити цю операцію перевернення в реальному вигляді. Ботт постійно запитував у Смейла: "покажіть мені, як ви б це зробили"; а Смейл, відомий своєю прямолінійністю, відповідав: "у мене взагалі немає найменшого уявлення". Пізніше Смейл отримав медаль Філдса — еквівалент Нобелівської премії в математиці. Навіть за цією мірою, ви, можливо, запитаєтеся, чому не існує Нобелівської премії з математики. Відповідь проста: його дружина збігла з математиком.
Дещо тривало так довго, доки американський математик Антоні Філліпс у 1967 році в Scientific American опублікував першу версію цього перевернення, дуже складну. Друга була винайдена на початку 70-х років французьким математиком (незрячим) Бернардом Моріном. Я був першим, хто намалював послідовність перетворень, яка стане предметом, як я оголосив, наступного статті на цьому сайті, причому дуже детально. Проте все це приводить до одного розмірковування. Поверхні можуть бути представлені у поліедричній формі. Куб або тетраедр можуть розглядатися як поліедричні представлення сфери, оскільки ці об'єкти мають ту саму топологію. Докладніше про це — у моєму Topologicon. Крім того, зрозуміло, що якщо можливо перевернути сферу, то можливо і перевернути куб. Перетворення, винайдене Бернардом Моріном (яке я ілюстрував у статті січня 1979 року в Pour la Science), проходить через центральну модель. У цій послідовності існує симетрія. Це те, що я називаю "центральною моделлю з чотирма вухами". Я трохи попереджаю. Проте, як сфера піддається поліедричному представленню, так само це стосується наступних кроків цього перетворення. Те, що ви бачите, що обертається на моїй початковій сторінці, — це поліедрична версія центральної моделі перевернення сфери, яку я винайшов близько десяти років тому. Інтерес цих поліедричних моделей полягає в тому, що їх можна збудувати з плоских поверхонь. Їх можна також збудувати з паперу та ножиць. Подивіться на малюнок нижче (дякую, відзначаючи, моєму другові Крістофу Тарді, що створив елементи потрібного розміру).
Це схема зборки, яку ви бачите в загальному вигляді. Але для друку краще перейти на сторінку découpage. Друкуйте. Потім, маючи цей екземпляр, надрукований на звичайному папері вашого принтера, зробіть чотири однакові копії, дві на зеленому картоні, дві на жовтому. Ви зможете, використовуючи ці вирізані аркуші, зібрати центральну модель перевернення куба.
На елементах для вирізання є пари літер: a, b, c, d, e, f і т.д. Достатньо зігнути аркуш, щоб збіглися однакові літери, а потім закріпити поверхні скотчем. Наступні малюнки показують, як збирати один із чотирьох елементів. Ось як треба почати згинати один із чотирьох елементів:
Ось два з чотирьох елементів, побачені з різних кутів.
Тепер їх потрібно розмістити так, щоб утворився об'єкт з симетрією четвертого порядку, де змінюються зелені та жовті елементи. Щоб побачити це у 3D, подивіться на реалізацію Тарді у розділі "віртуальна реальність". Центральна модель зібрана і навіть реалізована у форматі "vrml" у цьому розділі. Ось вона, зображена з різних точок зору:
Неможливо сказати, що одна точка відповідає "зверху", а інша — "знизу", оскільки ці позначення є повністю довільними. На лівому малюнку центральна точка відповідає "подвійній точці" (де дві поверхні перетинаються) центральної моделі Моріна, а центральна точка на правому малюнку відповідає "четверній точці" того ж самого моделі (де чотири поверхні перетинаються). Я мав велику увагу, щоб орієнтувати об'єкт, щоб ліва фігура не нагадувала свастику. Крім того, з архітектурної точки зору, ця поліедрична представлення центральної моделі Моріна могла б стати чудовим проектом Народного соціалістичного культурного центру.
Останнє спостереження: не існує гарної поліедричної представлення перевернення сфери (або куба). Під "гарною" я маю на увазі послідовність моделей, достатньо чітку, яку можна описати у вигляді вирізаних аркушів, відносно легко, як у випадку з вище зазначеною моделлю. Було б цікаво провести дослідження в цьому напрямку, доступне кожному, навіть непрофесіоналу, наприклад скульптору. Більше двадцяти років тому я був викладачем скульптури в Ecole des Beaux-Arts у Акс-ан-Прованс, коли директором був мій добрій друг Жак Булльє. Саме там народилася перша південна представлення поверхні Боя за допомогою еліпсів, ключ до побудови першої неявної рівняння, поданого Апері. Мушу сказати, що вже тоді я був здивований геометричною уявою студентів-художників, яка часто перевищувала уяву... геометрів.
Лічильник встановлено 31 грудня 2001 року. Кількість підключень:
Повернутися до сторінки Новини Головна сторінка
Зображення
