Центральна модель (поліедрична) перевертання куба
Центральна модель перевертання куба
31 грудня 2001 року
Всі ви бачили, як безперервно обертається дивний об’єкт на лівій частині головної сторінки сайту. Що це за об’єкт?
Одного дня, коли у мене буде час, я встановлю на сайті опис перевертання сфери, як я його ілюстрував у випуску січня 1979 року журналу «Pour la science», тобто вже... 22 роки тому. Звичайно, це потребувало б багато деталей і вступу. Що означає перевернути сферу? Для звичайної людини сфера — це, у тривимірному просторі, множина точок, що знаходяться на відстані R від фіксованої точки O цього простору. Геометр продовжує називати «сферою» об’єкт, що відповідає «деформованій сфері», якесь «картопляне» тіло. Щоб краще зрозуміти ці поняття, придбайте CD Lanturlu, що містить комікс «Le Topologicon». Але математик йде далі. Коли поверхня називається «регулярною», у кожній її точці можна визначити дотичну площину. Це вже дозволяє уявити нескінченну кількість деформацій «початкової сфери» у нескінченну кількість «картопляних» тіл, особливо якщо площа цієї поверхні може бути будь-якою. Однак у «фізичному світі» людина, що деформує сферу, зіткнеться з неможливістю її самоперетину. Якщо самоперетини або навіть дотики заборонені, ми говоримо про «поглинання» сфери S2. Але математик має усі права. Для нього сфера — це «віртуальний» об’єкт, де перетинання поверхонь стають можливими. Наступна серія малюнків показує сферу, яка «самоперетнулася». Таку представлення сфери називають «ін’єкцією».
Ін’єкція має множину самоперетинів (тут — проста колова крива). Дотична площина повинна змінюватися неперервно. Але, дивлячись на малюнки вище, ми бачимо, що операція дійсно повертає частину (позначена зеленим кольором) внутрішньої частини сфери назовні. Щоб завершити таке перевертання, потрібно стиснути цей екваторіальний «бублик». Здається, що це спочатку проблематично. Таке стиснення порушить неперервність дотичної площини. Отже, операція містить етап, який не є ін’єкцією.
Одного разу американський математик Стівен Смейл довів, що «сфера S2 має лише одну клас ін’єкцій». Слідством цього загадкового твердження було те, що можна послідовно з’єднати ін’єкції сфери, щоб перейти від «стандартної сфери» до її «антіподної» представлення, тобто такого, де кожна точка замінена на свою антіподну. Іншими словами — повернута сфера, зворотній бік. Рауль Ботт був керівником Смейла. Наскільки формальний довід Смейла здавався бездоганним, настільки ж ніхто не уявляв, як реалізувати цю операцію. Ботт постійно просив Смейла: «Покажіть мені, як ви уявляєте собі цю операцію», на що Смейл із своїм відомим «волоссям на мові» відповідав: «Я взагалі не маю ніякого уявлення». Пізніше Смейл отримав медаль Філда, що еквівалентна Нобелівській премії в математиці. У цьому зв’язку виникає питання: чому Нобель ніколи не створив Нобелівської премії з математики? Відповідь проста: його дружина втекла з математиком.
Речі залишалися без змін протягом багатьох років, доки американський математик Антоні Філліпс у 1967 році не опублікував у Scientific American першу версію такого перевертання, дуже складну. Друга була винайдена на початку 1970-х років французьким математиком (нічим) Бернардом Моріном. Я був першим, хто намалював цю послідовність перетворень, яку, я вже сказав, стане об’єктом наступної статті на сайті, досить густої. Проте це призводить нас до додаткового висновку. Поверхні можуть мати поліедричні представлення. Куб або тетраедр можуть розглядатися як поліедричні представлення сфери, оскільки ці об’єкти мають ту саму топологію. Дивіться на мою BD «Le Topologicon». Крім того, зрозуміло, що якщо можливо перевернути сферу, то можливо перевернути і куб. Перетворення, винайдене Бернардом Моріном (яке я ілюстрував у статті січня 1979 року журналу «Pour la science»), проходить через центральну модель. У цій послідовності існує симетрія. Це називається «центральною моделлю з чотирма вухами». Знову ж таки, я передбачаю. Але як сфера може мати поліедричні представлення, так само можливі поліедричні представлення послідовних етапів цих перетворень. Об’єкт, що обертається на моїй головній сторінці, є, отже, поліедричною версією центральної моделі перевертання сфери, модель, яку я винайшов близько десяти років тому. Перевага таких поліедричних моделей у тому, що їх можна збудувати з плоских поверхонь. Їх навіть можна збирати з розрізаних частин. Подивіться на наступний малюнок (дякую моєму другові Крістофу Тарді, який створив правильно позначені елементи).
Це малюнок, який вийде на вашій друкарні у малих розмірах, непридатний для використання.
Щоб надрукувати цю фігуру на аркуші А4 Потрібно зробити чотири копії на товстому папері А4, дві аркуші одного кольору, дві — іншого.
Це розріз, який ви бачите у загальному вигляді. Але для друку краще перейти на сторінку розріз. Надрукуйте її. Потім, маючи цей екземпляр, надрукований на звичайному папері вашої друкарки, підійдіть до копіювального апарату і зробіть чотири ідентичні копії цього малюнка, дві на зеленому картоні та дві на жовтому. Тепер ви зможете, використовуючи цей розріз, збудувати центральну модель перевертання куба.
На цих вирізаних елементах є пари літер: a, b, c, d, e, f тощо. Вам потрібно зробити згини, зблизивши однакові літери, а потім з’єднати ці грані скотчем. Наступні малюнки показують, як збирати один із чотирьох елементів. Ось як треба почати згинання одного із чотирьох елементів:
Ось два з цих чотирьох елементів, побачені з різних кутів.
Потім вони збираються в об’єкт з симетрією четвертого порядку, по черзі зелені та жовті елементи. Щоб побачити це у 3D, подивіться на реалізації місцевого Тарді у «віртуальній реальності». Повністю зібраний центральний модуль також доступний у форматі «vrml» у цій секції. Ось цей об’єкт, побачений з різних кутів:
Неможливо сказати, що одна зображена сторона — «верх», а інша — «низ», оскільки ці назви були б повністю довільними. На лівому зображенні центральна точка відповідає «подвійній точці» (де дві поверхні перетинаються) центральної моделі Моріна, тоді як центральна точка правого зображення відповідає «четвірній точці» цієї ж моделі (де перетинаються чотири поверхні). Я дуже уважно орієнтував об’єкт, щоб ліве зображення не нагадувало криву гамма. Інакше, архітектурно, це поліедричне представлення центральної моделі Моріна могло б стати дуже хорошим проектом будівлі національної культурної спілки соціалістичної держави.
Останній погляд:
Останнє зауваження: не існує «гарної» поліедричної представлення перевертання сфери (або перевертання куба). Під «гарною» мається на увазі послідовність моделей, достатньо зрозумілих, які можна легко зібрати у вигляді розрізів, як це зроблено вище. Дослідження у цьому напрямку може бути здійснене кожним, навіть не математиком, художником, наприклад. Більше двадцяти років тому я був викладачем скульптури в Школі прекрасних мистецтв у Аксі-ан-Превенсі, тоді, коли вона ще керувалася моїм чудовим другом Жаком Булієром. Саме в цих приміщеннях народилася перша меридіанна представлення поверхні Боя за допомогою еліпсів, ключ до побудови першої неявної рівняння Апері. Мушу сказати, що тоді я завжди дивувався геометричній уяві студентів-художників, яка часто перевершувала уяву... геометрів.
Лічильник ініціалізовано 31 грудня 2001 року. Кількість підключень:
Віртуальна реальність Повернення до Новин
Зображення
