Центральна модель (поліедрична) перетворення куба
Центральна модель перетворення куба
31 грудня 2001 року
Ви всі бачили, як безперервно обертається дивний об'єкт на лівій стороні головної сторінки сайту. Що це таке?
Одного дня, коли у мене буде час, я встановлю на сайті опис перетворення сфери, як я його ілюстрував у випуску січня 1979 року журналу «Pour la science», тобто вже... 22 роки тому. Це, звичайно, потребувало б багато деталей і вступу. Що означає «перетворити сферу»? Для звичайної людини сфера — це, у тривимірному просторі, множина точок, що знаходяться на відстані R від фіксованої точки O цього простору. Геометр продовжує називати «сферою» об'єкт, що відповідає «деформованій сфері», якесь «картопляне» тіло. Щоб краще зрозуміти ці поняття, придбайте CD Lanturlu, що містить комікс «Le Topologicon». Але математик йде далі. Коли поверхня вважається «регулярною», у кожній її точці можна визначити дотичну площину. Це вже дозволяє уявити нескінченну кількість деформацій «початкової сфери» у нескінченну кількість «картопляних» тіл, особливо якщо площа цієї поверхні може бути будь-якою. Однак у «реальному фізичному світі» людина, що деформує сферу, зіткнеться з неможливістю її самоперетину. Якщо самоперетини або навіть дотики заборонені, ми говоримо про «поглинання» сфери S2. Але математик має повну свободу. Для нього сфера — це «віртуальний» об'єкт, де перетинання поверхонь стає можливим. Наступна послідовність малюнків показує сферу, що «самоперетнулася». Таку представлення сфери називають «ін'єкцією».
Ін'єкція має множину самоперетинів (тут — проста колова крива). Дотична площина повинна змінюватися неперервно. Проте, дивлячись на малюнки вище, ми бачимо, що операція справді повертає частину (позначена зеленим кольором) внутрішньої частини сфери назовні. Щоб завершити таке перетворення, потрібно стиснути цей екваторіальний «батон». Це здається, на перший погляд, проблематичним. Таке стиснення порушить неперервність дотичної площини. Отже, операція містить етап, який не є ін'єкцією.
Одного разу американський математик Стівен Смейл довів, що «сфера S2 має лише одну класифікацію ін'єкцій». Слідством цього загадкового твердження було те, що можна послідовно з'єднати ін'єкції сфери, щоб перейти від «стандартної сфери» до її «антіподної» представлення, тобто такого, де кожна точка замінена на свою антиподну. Коротко кажучи... повернена сфера, «назад-наперед». Рауль Ботт був керівником Смейла. Наскільки формальний довід Смейла здавався бездоганним, настільки ж ніхто не бачив, як виконати цю операцію. Ботт постійно казав Смейлу: «Покажіть мені, як ви уявляєте собі це», на що Смейл із своїм відомим «волоссям на язик» відповідав: «Я навіть не маю найменшого уявлення». Пізніше Смейл отримав медаль Філдса, що відповідає Нобелівській премії в математиці. У цьому зв'язку, можливо, виникає питання: чому Нобель ніколи не створив премії з математики? Відповідь проста: його дружина втекла з математиком.
Справи залишалися без змін протягом багатьох років, доки американський математик Антоні Філліпс у 1967 році не опублікував у «Scientific American» першу версію цього перетворення — дуже складну. Друга була винайдена на початку 70-х років французьким математиком (нічим) Бернардом Моріном. Я був першим, хто намалював цю послідовність перетворень, яка, я вже згадував, стане об'єктом наступної статті на сайті, досить густої. Проте це призводить нас до додаткового висновку. Поверхні можуть бути представлені у поліедричній формі. Куб або тетраедр можуть вважатися поліедричними представленнями сфери, оскільки ці об'єкти мають однакову топологію. Дивіться мою бібліотеку «Le Topologicon». Крім того, зрозуміло, що якщо можливо повернути сферу, то можливо повернути й куб. Перетворення, винайдене Бернардом Моріном (яке я ілюстрував у статті січня 1979 року журналу «Pour la science»), проходить через центральну модель. У цій послідовності є симетрія. Це називається «центральною моделлю з чотирма вухами». Знову ж таки, я передчуваю. Але як сфера може мати поліедричні представлення, так само можуть мати їх і етапи цих перетворень. Об'єкт, що обертається на моїй головній сторінці, є поліедричною версією центральної моделі перетворення сфери — модель, яку я винайшов близько десяти років тому. Перевага таких поліедричних моделей у тому, що їх можна збудувати з плоских поверхонь. Їх навіть можна розрізати. Подивіться на наступний малюнок (дякую моєму другові Крістофу Тарді, який створив правильно позначені елементи).
**Це малюнок, який вийде на вашій друкарні у малих розмірах, непридатний до використання. **
Щоб надрукувати цю фігуру на аркуші А4 Потрібно зробити чотири копії на товстому папері А4, дві аркуші одного кольору, дві — іншого.
Це розріз, який ви бачите у загальному вигляді. Але для друку краще перейти на сторінку розріз. Надрукуйте її. Потім, маючи цей відбиток на звичайному папері вашої друкарки, підійдіть до копіювального апарату і зробіть чотири ідентичні копії цього малюнка — дві на зеленому картоні, дві — на жовтому. Тепер ви зможете за допомогою цього розрізу збудувати центральну модель перетворення куба.
На цих вирізаних елементах є пари літер: a, b, c, d, e, f тощо. Вам потрібно зробити згини, щоб однакові літери збігалися, а потім з'єднати ці грані скотчем. Наступні малюнки показують, як збирати один із чотирьох елементів. Ось як треба почати згинати один із чотирьох елементів:
Ось два з цих чотирьох елементів, побачені з різних кутів.
Потім вони збираються в об'єкт з симетрією четвертого порядку, по черзі розміщуючи зелені та жовті елементи. Щоб побачити це у 3D, подивіться на реалізації пана Тарді в «віртуальній реальності». Повністю зібраний центральний модуль також доступний у форматі «vrml» у цій секції. Ось цей об'єкт, побачений з різних кутів:
Неможливо сказати, що одна зображена сторона — це «верх», а інша — «низ», оскільки такі позначення були б повністю довільними. На лівому зображенні центральна точка відповідає «подвійній точці» (де дві поверхні перетинаються) центральної моделі Моріна, тоді як центральна точка правого зображення відповідає «четверній точці» цієї ж моделі (де перетинаються чотири поверхні). Я дуже обережно орієнтував об'єкт, щоб ліве зображення не нагадувало кроса гамма. Інакше, архітектурно, ця поліедрична модель центральної моделі Моріна могла б стати дуже гарним проектом будівлі національної культурної спілки соціалістичного характеру.
Останній погляд:
Останнє зауваження: не існує «гарної» поліедричної представлення перетворення сфери (або перетворення куба). Під «гарною» мається на увазі послідовність моделей, достатньо зрозумілих, які можна зібрати у вигляді розрізів досить легко, як у випадку з вищеозначеною моделлю. Дослідження у цьому напрямку може бути здійснене кожним, навіть непрофесіоналом, художником, наприклад. Більше двадцяти років тому я був викладачем скульптури в Школі прекрасних мистецтв Альє-ан-Прованс, тоді коли вона ще керувалася моїм чудовим другом Жаком Буллієром. Саме там народилася перша меридіанна представлення поверхні Боя за допомогою еліпсів — ключ до побудови першої неявної рівняння Апері. Маю відзначити, що тоді я завжди дивувався геометричній уяві студентів-художників, яка часто перевершувала уяву... геометрів.
Лічильник ініціалізовано 31 грудня 2001 року. Кількість підключень:
Віртуальна реальність Повернення до новин
Зображення
