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Composants d’un groupe.
Nous avons considéré deux groupes : SO(2) et O(2). Le second contient le premier.
Le premier contient l’élément neutre. Nous pouvons représenter les éléments du groupe comme suit :
(73)
.
Les éléments de la première composante forment un groupe (un sous-groupe).
Les éléments du second groupe ne forment pas un groupe, pour plusieurs raisons :
-
Il ne contient pas
l’élément neutre 1. -
Nous pouvons choisir deux matrices de cette seconde composante dont le produit n’appartient pas à cette seconde composante. Exemple :
(74)
La composante du groupe contenant l’élément neutre
1
est appelée
la composante neutre du groupe.
Dans la suite, nous considérerons des groupes à 2, 4, 8 composantes.
Le groupe d’Euclide.
Nous pouvons maintenant intégrer ce groupe étendu et enrichi à la translation en 2D, et nous obtenons :
(75)
ainsi que l’action correspondante de ce groupe d’Euclide :
(76)
Supposons que nous utilisions notre groupe pour manipuler, régir, étudier les lettres de l’alphabet.
Limiteons l’ensemble à :
A B C D E F G J K L N P Q R S Z
Nous avons plusieurs tailles :
(77)
A B C D E F G J K L N P Q R S Z
A B C D E F G J K L N P Q R S Z
A B C D E F G J K L N P Q R S Z
Nous savons que nous ne pouvons trouver aucun élément du groupe, ni aucune action ultérieure d’un groupe, capable de transformer :
Gen G
car leurs tailles sont différentes. Nous décidons d’appeler ces tailles
des masses
afin que Get Gsoient analogues à des particules, objets, atomes possédant des masses différentes.
Maintenant, cela dépend du groupe agissant sur cet ensemble d’objets. Si j’utilise :
(78)
supposons que ce « monde » soit rempli de :
(79)
avec un certain spectre de tailles (masses) et d’angles. Si j’opère des actions de groupe, quels qu’ils soient, je ne trouverai jamais d’objets appartenant à l’alphabet russe :
(80)
Il deviendra possible si j’emploie le groupe enrichi, le groupe d’Euclide :
(80b)
Alors mon « monde » deviendra :
(81)
Le groupe a enrichi le « zoo » des lettres. Mais dans mon zoo, une lettre est invariante par symétrie, c’est-à-dire :
(82)
(83)
(84)
(85)
En général, toute symétrie par rapport à n’importe quelle droite du plan, c’est-à-dire un « miroir 2D », ne modifie pas la « nature » de ce caractère
(86)
J’appellerai ce caractère un « photon » et assimilerai la transformation
(87)
à la dualité matière-antimatière. Ainsi, j’obtiens un zoo global :
(88)
Nous pourrions relier les lettres de même forme (nature) mais de tailles différentes (représentant leurs énergies), à l’aide du groupe de Descartes :
(89)
Mais nous ne construirons pas un modèle analogique complet des particules élémentaires fondé sur les caractères alphabétiques. Quoi qu’il en soit, vous commencez à entrevoir où nous tendons. Les groupes présentent des aspects simples, mais possèdent des propriétés cachées. Ces propriétés dépendent de leurs sous-groupes, qui engendrent
les espèces.
Le groupe d’Euclide s’accompagne d’un monde euclidien, d’un zoo euclidien. Les animaux de la géométrie euclidienne s’appellent sphère, cylindre, prismes, plan, droite, triangles, etc. Ils sont invariants sous l’action d’un certain sous-groupe. Souriau appelle sous-groupe lié à un objet appartenant à une espèce la
régularité
de cet objet.
Par exemple, les sphères centrées en un point donné O sont invariants sous le sous-groupe des rotations autour de ce point.
-
Nous pouvons considérer que
le fait d’être invariant est une propriété de l’espèce appelée « sphères centrées en un point O ». -
Réciproquement, nous pouvons considérer que
cette propriété
définit
l’espèce.
Index Théorie Dynamique des Groupes
Version originale (anglais)
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Components of a group.
We have considered two groups : SO(2) and O(2). The second contains the first.
The first contains the neutral element. We can figure the elements of the group as follows :
(73)
.
The elements of the first component form a group (a sub-group).
The elements of the second group do not form a group, for many reasons :
-
It does not contain
the neutral elements 1. -
we can pick
two matrices in this second component, whose product does not belong to this second component. Example :
(74)
The component of the group which contains the neutral element
1
is called the
neutral component of the group.
In the following we will consider groups with 2, 4, 8 components.
The Euclid's group.
We can now integrate this extended, enriched group, to 2d- translation, and we get :
(75)
and the corresponding action of this Euclid's group :
(76)
Suppose we use our group to manipulate, to rule, to study alphabetic letters.
Limit the set to :
A B C D E F G J K L N P Q R S Z
We have several sizes :
(77)
A B C D E F G J K L N P Q R S Z
A B C D E F G J K L N P Q R S Z
A B C D E F G J K L N P Q R S Z
We know that we cannot find any element of the group, and a subsequent group's action, which can transform :
Ginto G
for their sizes are different. We decide to call their sizes
masses
so that Gand Gare similar to particules, objects, atoms, who own different masses.
Now, depends on the group which acts on this set of objects. If Iuse :
(78)
assume this "world" is filled by :
(79)
with a certain spectrum of sizes (masses) and angles. If Ioperate group actions, whetever they are, Iwill never find objects which belong to the russian alphabet :
(80)
It will be possible if Itake the enriched group, the Euclid's group :
(80b)
Then my "world" will become :
(81)
The group has enriched the letters' "zoo". But in my zoo, one is invariant by symmetry, i.e :
(82)
(83)
(84)
(85)
In general, any symetry with respect to any straight line of the plane, which is a "2d mirror", does not change the "nature" of this character
(86)
Iwill call this character a "photon" and will assimilate the transform
(87)
to the matter anti-matter duality. Then Iget a global zoo :
(88)
We could link letters of same shape (nature) but different sizes (representing their energies), using Descartes'group:
(89)
But we are not going to build a complete analogical model of elementary particles, based on alphabetical characters. Anyway, you begin to see were we tend to go. Group have very simple aspects, but hidden properties. These properties depend on their sub-groups, which fathers
species .
Euclid's group goes with an Euclid's world, with Euclid's zoo. The animals of euclidean geometry are called sphere, cylinder, prisms, plane, straight line, triangles, en so on. The are invariant under some sub-group action. Souriau calls the sub-group linked to a an object, which belongs to a species, the
regularity
of this object.
For an example spheres centered on a given point O are invariant through the sub-group of rotations around this point.
-
We can consider that
the fact to be invariant is a property of the species called "spheres centered on a point O". -
Conversely we can consider
that this property
defines
the species.
Index Dynamic Groups Theory