a4105
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Symétries.
(49b)
Qu'est-ce que cela signifie ?
Considérons un groupe composé de quatre éléments (un "groupe discret").
(50)
que je peux écrire :
(51)
L'action correspondante est :
(52)
Il est clair qu'elle peut inverser la coordonnée x, la coordonnée y, ou les deux.
Schématiquement :
(53)
(54)
(55)
(56)
Nous pouvons maintenant construire la matrice :
(57)
Nous pouvons vérifier que cet ensemble de matrices forme un groupe.
Leur déterminant est :
(58)
det ( a ) = l m ( cos 2 a + sin 2 a ) = l m = ±1
Vérifions que la matrice inverse est :
(59)
(60)
(61) Ainsi :
(62)
d'où :
(63)
...SO(2) (appelé groupe orthogonal spécial) est un sous-groupe de O(2) (appelé groupe orthogonal) et nous pouvons former les matrices **a **à partir des matrices **a **par :
(64)
En passant, beaucoup de ces matrices sont redondantes. Par exemple, si
(64b)
(65)
ce qui signifie que changer ( x ---> - ; y ---> -y ) est équivalent à une rotation de p. Voir la figure suivante.
(66)
Nous savons que les matrices :
(67)
correspondent à une simple rotation autour de l'origine des coordonnées O.
Quel est le sens des matrices plus générales :
(68)
À partir de :
(69)
nous savons que a correspond à deux opérations combinées :
- Une symétrie par rapport à l'axe OX, ou à OY, ou aux deux.
- Une rotation a autour de l'origine des coordonnées.
(70)
Sur la figure est indiquée la succession des deux opérations
( M1 ----> M4 )
Il est clair qu'elle est équivalente à une symétrie par rapport à une droite passant par O
(71)
...Nous avons enrichi le "groupe orthogonal spécial" SO(2) qui était à l'origine du "groupe orthogonal" O(2). Nous avons ainsi découvert que ce groupe étendu contient des symétries miroir : toutes les symétries par rapport à des droites passant par l'origine des coordonnées O.
(72)
Index Théorie des groupes dynamiques
Version originale (anglais)
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Symmetries.
(49b)
What does it mean ?
Consider a group composed by four elements ( a "discrete group" ).
(50)
that I can write :
(51)
The corresponding action is :
(52)
Clearly it may reverse the x coordinate, the y coordinate, or the two.
Schematically :
(53)
(54)
(55)
(56)
Now we may build the matrix :
(57)
We can check such set of matrixes form a group.
Their determinant is :
(58)
det ( a ) = l m ( cos 2 a + sin 2 a ) = l m = ±1
Check the inverse matrix is :
(59)
(60)
(61) So that :
(62)
whence :
(63)
...SO(2) (called special orthogonal group) is a sub-group of O(2) (called orthogonal group) and we may form the matrixes **a **from the matrixes a through :
(64)
By the way, many are redundant. For an example, if
(64b)
(65)
which means that changing ( x ---> - ; y ---> -y ) is equivalent to a rotation of p . See next figure.
(66)
We know that matrixes :
(67)
correspond to a simple rotation around the center of coordinates O.
What is the meaning of more general matrixes :
(68)
From :
(69)
we know that a corresponds to two combined operations :
- A symmetry with respect to axis OX , or OY , or both.
- A rotation a around the center of coordinates.
(70)
On the figure is shown the succession of the two operations
( M1 ----> M4 )
It is clear that it is equivalent to a symmetry with respect to a straight line passing by O
(71)
...We have enriched the "special orthogonal group " SO(2) which began the "orthogonal group" O(2). Then we discovers that this extended group contains mirror-symmetries : all the symmetries with respect to straight lines passing by the origin of coordinates O.
(72)