nhóm và hành động đối đồng phôi lượng tử
| 7 |
|---|
Một phần tử gp của nhóm Poincaré Gp được xác định bởi một bộ tham số {pi}, mà như chúng ta đã nói, số lượng của chúng biểu thị chiều của nhóm. Ma trận dg (g = e) được tạo thành từ các đại lượng {dpi}. Do đó, phép ánh xạ trên có dạng:
(81)
Nói cách khác, với một tập hợp các số vô hướng dpi, ta tương ứng với một số lượng bằng nhau các số vô hướng dpi'. Sự đối ngẫu được xác định bằng cách giả sử tính bất biến của một số vô hướng, theo công thức:
(82)
trong đó n là chiều của nhóm (mười, đối với nhóm Poincaré). Các số vô hướng Ji biểu diễn các thành phần của xung lượng, với cùng số lượng.
Chúng ta sẽ quyết định phân tích xung lượng J thành hai đối tượng. Đối tượng đầu tiên là một ma trận M phản đối xứng kích thước (4,4), do đó có sáu thành phần, và đối tượng thứ hai là một "vector bốn chiều" P, ma trận kích thước (4,1):
(83)
(84) J = { M , p , E} = { M , P } Chúng ta sẽ viết tích vô hướng dưới dạng:
(85)
Tr có nghĩa là "vết của", và ta sẽ có thêm:
(86)
dạng tuyến tính mà tính bất biến của nó đảm bảo sự đối ngẫu.
với:
(87) (87b)
(87c)
nhưng GG = 1 nên điều này bằng:
(88)
Xác định các số hạng chứa y (89)
Tức là:
(90)
----> Ở đây tiếp tục là các chi tiết tính toán ma trận. Nếu bạn muốn, bấm vào đây để đến trực tiếp kết quả
Trong vết, ta có thể thực hiện phép hoán vị vòng quanh các số hạng.
(90a)
(90b)
(90c)
số hạng thứ hai ở vế phải bằng tích của một ma trận hàng với một ma trận cột.
Điều này bằng vết của tích nghịch đảo (sau đây, sơ đồ minh họa tích của một ma trận hàng với một ma trận cột):
(90d)
Trong vết này, tôi có thể thực hiện phép hoán vị vòng quanh:
(90e)
Do đó:
(90f)
(90g)
Ở đây ta sẽ áp dụng lại định lý về vết của các ma trận là tích của một ma trận khác với một ma trận đối xứng.
Mọi ma trận đều có thể được làm đối xứng hoặc phản đối xứng. Hơn nữa, vết của tích giữa một ma trận với một ma trận đối xứng là bằng không.
(90h)
Tôi có thể áp dụng điều này cho ma trận (90i) vì ta đang lấy vết
(90j)
(90k) = đối xứng ( ) + phản đối xứng ( )
nhưng:
(90l)
do đó
(90m) (90n)
(90o)
(90p)
và:
(90q)
cuối cùng:
(90r)
Kết hợp lại và đổi vị trí các dấu phẩy, ta thu được hành động nhóm của tôi:
Hình ảnh
