Hình học bề mặt Boy, mô hình đa diện, bề mặt Roman của Steiner

Làm thế nào để biến đổi bề mặt Cross Cap
thành bề mặt Boy (bên phải hoặc bên trái, tuỳ chọn)
bằng cách đi qua bề mặt Roman của Steiner.

Tiếng Ý: Andrea Sambusetti, Đại học Roma

../../Crosscap_Boy1.htm

27 tháng 9 - 25 tháng 10 năm 2003

Trang 4

Chúng tôi giới thiệu mô hình này từ một góc nhìn khác:

Bảng 14: Chúng ta tiếp tục thực hiện cùng một thao tác, tạo ra "tai thứ ba" của đường giao nhau tự thân. Trong mô hình đa diện, phần cuối cùng này có hình dạng ba hình vuông chung một đỉnh: điểm ba lần giao nhau T.

Bảng 15: Quay vật thể, bạn sẽ thấy phiên bản đa diện của bề mặt Boy mà tôi đã giới thiệu trong Topologicon (ở đó bạn có thể tìm thấy cả bản vẽ hướng dẫn để tự xây dựng nó).

Bảng cuối cùng: Tôi đã cố gắng minh họa quá trình bề mặt Steiner uốn éo và biến đổi thành bề mặt Boy.

Bạn thấy rằng, khi vẽ dưới dạng "tròn trịa", việc hiểu được nó đòi hỏi khá nhiều thực hành. Mắt chúng ta cảm thấy rất khó chịu khi phải hiểu một đối tượng mà trên cùng một đường nhìn, có hơn hai mặt chồng lên nhau. Từ đó, ta thấy được lợi ích của mô hình đa diện, giúp bất kỳ ai, chỉ cần tự tay làm mô hình nhỏ, có thể tiếp cận được những biến đổi tưởng chừng phức tạp trong hình học. Nhấn mạnh thêm, tùy theo cặp điểm gờ (cuspidal) được chọn, ta sẽ thu được bề mặt Boy "bên phải" hay "bên trái" (những định nghĩa hoàn toàn tùy ý). Mặt phẳng chiếu (projective plane) được nhúng vào không gian qua hai biểu diễn "đối xứng phản chiếu" (antiautomorfe). Vì vậy, ta cũng thấy rằng có thể chuyển từ bề mặt Boy bên phải sang bề mặt Boy bên trái thông qua một mô hình "trung tâm" chính là bề mặt Roman của Steiner.

Thật đáng tiếc nếu những hình vẽ này được công bố trên các tạp chí như Pour la Science hay La Recherche. Nhưng đã hai mươi năm nay, tôi bị "cấm" đăng bài trên những tạp chí này vì lý do "đi lệch chủ nghĩa UFO". Cảm ơn các ông Hervé This và Philippe Boulanger. Tôi đã mất trí nhớ về số lượng bài viết kiểu này tôi đã gửi đến các tạp chí này và bị từ chối một cách lịch sự. Cuối cùng, người ta cũng quen với thân phận bị "tước quyền công nhận".

Như một câu chuyện nhỏ, tồn tại một "giải thưởng d'Alembert" nhằm vinh danh các tác giả sách phổ biến toán học. Tôi đã được một thành viên trong ban xét giải kể lại câu chuyện (dù đằng sau đó là vấn đề tiền bạc). Cuộc đối thoại:

Nói chung, tại sao chúng ta không trao giải cho Petit? Ông ấy đã viết những tác phẩm đáng kể như "Géométricon", "Trou Noir" và "Topologicon".
Đúng vậy, nhưng ông ấy không chỉ làm vậy.
Ông ám chỉ điều gì?
Ông ấy còn viết "Mur du Silence".
À, vậy thì...

Vâng, "Mur du Silence", xuất bản năm 1983, là một tập album dành riêng cho MHD. Và như mỗi người chúng ta đều biết, khoa học ăn mòn này có ưu điểm hoặc khuyết điểm là cho phép các đĩa bay di chuyển với vận tốc siêu âm mà không gây ra tiếng nổ.

« Cachez cette science, que je ne saurais voir »

Tôi có một bản tuyệt đẹp về "lật ngược khối lập phương", không phải là phiên bản đa diện của biến thể Morin. Tất cả đều do tôi tự nghĩ ra. Một ngày nào đó...

Ngày 22 tháng 10 năm 2003: Không cần phải quá lo lắng về những trang này nếu tính theo số lượt truy cập. Ngày 13 tháng 10 năm 2003, tôi đã trình bày một buổi hội thảo tại CMI (Trung tâm Toán học và Tin học Château-Gombert-Marseille) theo lời mời của Trotman. Nhân dịp đó, tôi đã mang theo một bộ sưu tập khoảng ba mươi mô hình bằng giấy cứng, mà một ngày nào đó bạn sẽ được thưởng thức trước tiên, vì chúng đã được chụp ảnh bởi Christophe Tardy.

Khi trình bày một buổi hội thảo, một không khí nhất định được tạo ra. Trong bức ảnh dưới đây, đây là một nhà hình học đang thể hiện sự bối rối của mình.

Phía sau là một phần các mô hình được trưng bày với sự giúp đỡ của cộng sự lâu năm của tôi, Boris Kolev, cũng là một nhà hình học thuộc khoa. Ở một thời điểm nào đó, tôi đặt câu hỏi:

Có bao nhiêu người trong số các bạn đã từng thấy bề mặt Roman của Steiner? Hãy giơ tay lên.

Không ai từng thấy. Vì vậy, tôi cảm thấy cần thiết phải giới thiệu đối tượng này bằng một chương trình thực tế ảo trên máy tính xách tay mà tôi mang theo, chương trình được thực hiện với sự hỗ trợ của kỹ sư Christophe Tardy và Frédéric Descamp từ Viện Laue Langevin ở Grenoble (ILL). Rõ ràng, phần trình bày này khiến khán giả bối rối, vì họ ít khi thấy các bề mặt toán học quay cuồng theo ý muốn.

Hai bảng giấy cứng, hiện rõ trong ảnh trước, đã giúp trình bày toàn bộ chuỗi mô hình theo thứ tự logic. Các mô hình màu xanh và vàng minh họa, dưới dạng đa diện, công cụ thiết yếu để tạo ra và giải tán một cặp điểm gờ. Vật thể màu trắng ở xa hơn là phiên bản đa diện của bề mặt Cross Cap, trước tiên biến đổi thành phiên bản đa diện của bề mặt Roman của Steiner, sau đó, cách một mét, tùy ý, thành bề mặt Boy "bên phải" hoặc "bên trái".

Phân tích các mô hình đã làm nảy sinh nhiều quan sát từ khán giả. Một trong những nhà hình học đặt câu hỏi:

*- Nếu đúng là theo thứ tự mô hình này, ta có thể chuyển từ bề mặt Cross Cap sang bề mặt Boy, thì theo trình tự ngược lại, có vẻ như ta có thể biến đổi bề mặt Boy thành bề mặt Cross Cap. *

Tôi trả lời khẳng định. Tự tin hơn, người đối thoại tiếp tục:

*- Vậy nếu dừng lại ở giai đoạn bề mặt Roman của Steiner, có lẽ ta có thể quay trở lại bề mặt Boy, nhưng phản chiếu so với ban đầu. *

Tôi đồng ý thêm một lần nữa. Nhưng thật tiếc, không ai trong khán giả lên tiếng giải thích thêm về thế giới kỳ lạ này, nơi cho phép các nhúng bề mặt kín có các điểm gờ, được tạo ra hoặc giải tán từng cặp, và tập hợp của chúng tạo thành một dạng mở rộng của thế giới các nhúng. Thuật ngữ "summersion" (nhúng tổng) dường như phù hợp. Nếu có độc giả nào có thể làm rõ thêm, xin được chào đón.

Độ cong tập trung tại một điểm gờ.

Ta sẽ tính toán bằng cách cộng các góc tại đỉnh và so sánh tổng này với kết quả trong trường hợp mặt phẳng Euclid: 2π.

Ở góc trên bên trái, bạn có thể thấy một trong nhiều cách biểu diễn đa diện có thể của một điểm gờ. Khi "tháo rời" bề mặt, ta thu được tổng các góc vượt quá giá trị 2π một lượng 2α. Từ đó suy ra độ cong góc tập trung quanh điểm C này là -2α. Nếu góc α bằng π/2 thì độ cong âm sẽ là -π (hình ở góc dưới bên trái). Thực tế, độ cong tại một điểm gờ có thể nhận vô số giá trị khác nhau. Ở góc dưới bên phải, ta nhấn mạnh tổng góc và độ cong lúc này trở thành < -π (ta đã tăng độ cong âm).

Ngược lại, ta có thể đạt được một tình huống khá bất ngờ: có thể làm cho độ cong (góc) tập trung tại C trở thành... bằng không:

Bây giờ ta bắt đầu từ một biểu diễn đa diện của bề mặt Cross Cap có hai điểm gờ, mỗi điểm có độ cong bằng -π:

Trong hình này có tám "posicon" tương ứng với giá trị +π/2. Thêm bốn "posicon" khác có độ cong +π/4 và bốn "negaconi" có độ cong -π/4.

Cộng thêm hai điểm gờ có độ cong -π.

Tổng cộng: 2π

Chia giá trị "độ cong tổng" này cho 2π, ta thu được giá trị đặc trưng Euler-Poincaré của bất kỳ biểu diễn nào của mặt phẳng chiếu (hay bề mặt Boy).

Trong buổi hội thảo, tôi đã đề cập đến nghệ thuật và cách hoán đổi vị trí hai điểm gờ của bề mặt Cross Cap bằng cách lật ngược quả cầu. Tôi không nhớ nữa liệu tôi đã đăng điều này ở đâu trên trang web của mình. Thật rối rắm. Tôi sẽ phải tìm lại, nếu không sẽ thêm vào. Thú vị đấy. Nhưng sự thật là, thao tác này không được một người tham dự nào trong buổi hội thảo ưa thích:

Tôi không hiểu tại sao Petit phải dùng quá nhiều công cụ để chứng minh sự đối xứng nối hai điểm gờ của một Cross Cap. Có thể làm đơn giản hơn rất nhiều.

Và người đó đã vẽ lên bảng một quả cầu bị dẹt giữa hai thước thẳng chạm nhau, thực sự tạo ra một đường giao nhau tự thân dưới dạng đoạn thẳng, hai đầu đoạn thẳng là hai điểm gờ, giống như bề mặt Cross Cap. Thật không may, và người đàn ông đó nhận ra điều đó, đây không phải là bề mặt Cross Cap.

Chà, vậy thì nó là cái gì chứ? Một người khác hỏi.

Chỉ đơn giản là một nhúng của quả cầu, có hai điểm gờ. Nếu ta làm hai điểm này hội tụ về một điểm duy nhất, ta sẽ thu được một đường giao nhau tự thân trở thành một đường tròn. Và ta thu được (ở góc dưới bên phải) một nhúng của quả cầu, chỉ cần biến đổi nó thành nhúng chuẩn. Ta cũng có thể biểu diễn đa diện cho bề mặt này:

Đây là một bề mặt hai mặt, độ cong tổng cộng là 2π.

Tóm lại, ta có thể vui chơi khá nhiều với những "summersion" này. Hãy xem xét một nhúng của một hình xuyến thu được bằng cách quay biểu tượng vô cực quanh một trục:

Kỹ thuật làm các điểm gờ hội tụ về một điểm duy nhất giúp ta nhanh chóng đạt được nhúng chuẩn của hình xuyến, như đã giải thích trong các hình vẽ theo trình tự ở trên.

Nhưng đôi khi mọi thứ không dễ dàng và rõ ràng như vậy. Hãy lấy ví dụ một quả cầu bị dẹt giữa hai đoạn thẳng, lần này ngắn hơn đường kính. Ta vẫn thu được hai điểm gờ.

Vì bề mặt này chứa một dải Möbius, nên nó là bề mặt một mặt. Chúng tôi đã đặt bên cạnh một biểu diễn đa diện giúp tính toán độ cong tổng. Ta thu được giá trị bằng không. Nếu tôi không nhầm, thì nó phải là một chai Klein. Thông thường, người ta chỉ biết đến nhúng cổ điển của chai Klein, trong đó đường giao nhau tự thân là một đường tròn đơn giản. Nhưng cũng có những nhúng khác, như hình này. Tôi phải thú nhận rằng tôi vẫn chưa tìm ra cách biến đổi nó thành một chai Klein thông thường. Hơn nữa, tôi cũng không biết liệu "nhúng" này và nhúng cổ điển có cùng lớp đồng dạng (homotopy) hay không (ví dụ với quả cầu, chỉ có một lớp như vậy). Trước mắt, điều đó không chắc chắn: thực tế, hình xuyến có thể được nhúng vào không gian ba chiều theo bốn cách khác nhau, và chúng không thể chuyển đổi lẫn nhau bằng một phép đồng dạng trơn. Trong khi chờ đợi để khám phá xem điều đó có thể hay không trong trường hợp này, tôi đã vui vẻ biến đổi nó bằng cách tạo thêm hai điểm gờ, từ đó thu được hai bề mặt Cross Cap nối với nhau bằng một ống. Khi phân tích, ta thấy đặc trưng Euler-Poincaré bằng không.

Bề mặt kỳ lạ này nên biến đổi thành một trong bốn nhúng có thể của chai Klein, nhưng là nhúng nào? Dù sao, đây là một trong những nhúng thu được bằng cách quay một chữ số 8 quanh một trục, trong khi chính nó đang quay nửa vòng quanh trục của nó:

Trang trước

Quay lại mục "Biến đổi Cross Cap thành Boy"

Quay lại mục Tin mới Quay lại mục Hướng dẫn Quay lại Trang chủ

Số lượt truy cập từ ngày 25 tháng 11 năm 2004: