Hình học của các bề mặt: các mô hình toán học

Làm thế nào để biến một bề mặt Cross Cap thành một bề mặt Boy (bên phải hoặc bên trái, tuỳ chọn), đi qua bề mặt Steiner hình quả cầu.

Tiếng Ý: Andrea Sambusetti, Đại học Roma

../../Crosscap_Boy1.htm

27 tháng 9 - 25 tháng 10 năm 2003

Trang 4

Chúng tôi giới thiệu mô hình này từ một góc nhìn khác:

Bảng 14: Chúng ta tiếp tục thực hiện cùng một thao tác, tạo ra "tai thứ ba" của đường giao nhau tự thân. Trong mô hình đa diện, phần này có dạng ba hình vuông chung một đỉnh: điểm ba lớp T.

Bảng 15: Khi xoay vật thể, bạn sẽ tìm thấy phiên bản đa diện của bề mặt Boy mà tôi đã giới thiệu trong Topologicon (ở đó bạn cũng có thể tìm thấy bản vẽ lắp ráp giúp bạn tự làm ra nó).

Bảng cuối cùng: Tôi đã cố gắng minh họa bề mặt Steiner khi uốn éo và biến đổi thành bề mặt Boy.

Bạn thấy rằng, khi vẽ dưới dạng "tròn trịa", thì việc hiểu được nó đòi hỏi khá nhiều luyện tập. Mắt chúng ta cảm thấy rất khó chịu khi phải hiểu một vật thể mà trên cùng một đường nhìn, có hơn hai lớp chồng lên nhau. Từ đó, sự hấp dẫn của mô hình đa diện, giúp bất kỳ ai, chỉ cần tự tay làm mô hình nhỏ, có thể tiếp cận những biến đổi được coi là phức tạp trong hình học. Nhân tiện, tùy theo cặp điểm nhọn được chọn, ta sẽ thu được một bề mặt Boy "bên phải" hay "bên trái" (các định nghĩa hoàn toàn tùy ý). Mặt phẳng chiếu được nhúng vào không gian thông qua hai biểu diễn "đối tự nhiên" đối xứng nhau. Vì vậy, ta cũng thấy rằng có thể chuyển từ một bề mặt Boy bên phải sang một bề mặt Boy bên trái thông qua một mô hình "trung tâm", đó là bề mặt Steiner hình quả cầu.

Thật đáng tiếc nếu những bản vẽ này được đăng trên các tạp chí như Pour la Science hay La Recherche. Nhưng đã hai mươi năm nay, tôi bị "cấm" đăng bài trên các tạp chí này vì lý do "lệch lạc ngoại hành tinh". Cảm ơn các ông Hervé This và Philippe Boulanger. Tôi đã mất trí nhớ về số lượng bài viết kiểu này tôi đã gửi đến các tạp chí này, và đều được từ chối một cách lịch sự. Cuối cùng, người ta cũng quen với thân phận bị "tẩy chay".

Nhân tiện kể một chuyện nhỏ: có một "giải thưởng d'Alembert" dành để trao cho các tác giả sách phổ biến toán học. Tôi đã được một thành viên trong ban giám khảo kể lại câu chuyện (dù thực ra đằng sau đó là vấn đề tiền bạc). Cuộc đối thoại:

• Vậy tại sao chúng ta không trao giải cho Petit? Ông ấy đã viết những tác phẩm đáng kể như "Géométricon", "Trou Noir" và "Topologicon".

• Đúng vậy, nhưng ông ấy không chỉ làm vậy.

• Ông ám chỉ điều gì?

• Ông ấy còn viết "Mur du Silence".

• À, vậy thì...

Đúng vậy, "Mur du Silence", xuất bản năm 1983, là một tập truyện tranh dành riêng cho MHD. Và như tất cả chúng ta đều biết, khoa học ăn mòn này có ưu điểm hoặc khuyết điểm là cho phép các đĩa bay di chuyển với tốc độ siêu âm mà không tạo ra tiếng nổ.

« Cachez cette science, que je ne saurais voir »

Trong các hộp của tôi có một bản tuyệt đẹp về "lật ngược khối lập phương", không phải là phiên bản đa diện của biến thể Morin. Tất cả đều do tôi tự sáng tạo. Một ngày nào đó...

Ngày 22 tháng 10 năm 2003: Không cần phải quá lo lắng về những trang này, nếu tôi tin vào bộ đếm lượt truy cập. Ngày thứ Hai 13 tháng 10 năm 2003, tôi đã có một buổi thuyết trình tại CMI (Trung tâm Toán học và Tin học, Château-Gombert-Marseille) theo lời mời của Trotman. Nhân dịp đó, tôi đã trình bày một bộ sưu tập khoảng ba mươi mô hình bằng giấy, mà một ngày nào đó bạn sẽ được thưởng thức lần đầu tiên, vì chúng đã được Christophe Tardy chụp ảnh.

Khi thuyết trình, một không khí nhất định được tạo ra. Trong bức ảnh dưới đây, đây là một nhà hình học đang thể hiện sự băn khoăn.

Phía sau, một phần các mô hình được trưng bày nhờ sự giúp đỡ của cộng sự lâu năm của tôi, Boris Kolev, cũng là một nhà hình học trong khoa. Ở một thời điểm nào đó, tôi đã đặt câu hỏi:

• Có bao nhiêu người trong số các bạn đã từng thấy bề mặt Steiner hình quả cầu? Hãy giơ tay lên.

Không ai từng thấy. Vì vậy, tôi nghĩ việc giới thiệu vật thể này là hữu ích, bằng một chương trình thực tế ảo trên máy tính xách tay mà tôi mang theo, chương trình được thực hiện với sự hỗ trợ của Christophe Tardy, kỹ sư, và Frédéric Descamp, Viện Laue Langevin ở Grenoble (ILL). Rõ ràng, buổi trình bày này khiến khán giả bối rối, vì họ ít khi thấy các bề mặt toán học xoay vòng tùy ý.

Hai bảng bằng giấy, hiện rõ ở phía trước, đã giúp trình bày toàn bộ chuỗi mô hình theo thứ tự logic. Các mô hình màu xanh và vàng minh họa, dưới dạng đa diện, công cụ thiết yếu để tạo ra và giải tán một cặp điểm nhọn. Vật thể trắng ở xa hơn là phiên bản đa diện của bề mặt Cross Cap, trước tiên biến đổi thành phiên bản đa diện của bề mặt Steiner hình quả cầu, sau đó, cách một mét, tùy ý, thành bề mặt Boy "bên phải" hoặc "bên trái".

Phân tích các mô hình đã làm nảy sinh nhiều nhận xét từ khán giả. Một nhà hình học hỏi:

*- Nếu đúng là theo thứ tự này, ta có thể đi từ bề mặt Cross Cap đến bề mặt Boy, thì theo trình tự ngược lại, có vẻ như ta có thể biến đổi bề mặt Boy thành Cross Cap. *

Tôi trả lời khẳng định. Tự tin hơn, người đối thoại tiếp tục:

*- Vậy nếu dừng lại ở giai đoạn bề mặt Steiner hình quả cầu, thì có lẽ ta có thể quay lại một bề mặt Boy, nhưng phản chiếu so với bề mặt ban đầu. *

Tôi đồng ý lần nữa. Nhưng tiếc thay, không ai trong khán giả lên tiếng giải thích thêm về thế giới kỳ lạ này, nơi cho phép các nhúng bề mặt kín có các điểm nhọn, được tạo ra hoặc giải tán từng cặp, tập hợp của chúng tạo thành một dạng mở rộng của thế giới các nhúng. Tôi nghĩ từ "summersion" là phù hợp. Nếu một độc giả có thể cung cấp thêm giải thích, tôi rất hoan nghênh.

Độ cong tập trung tại một điểm nhọn.

Chúng ta sẽ tính bằng cách cộng các góc tại đỉnh và so sánh tổng này với kết quả trong trường hợp mặt phẳng Euclid: 2p.

Ở góc trên bên trái, bạn có thể thấy một trong nhiều cách biểu diễn đa diện có thể của một điểm nhọn. Khi "tháo rời" bề mặt, ta thu được tổng các góc vượt quá giá trị 2p một lượng 2a. Từ đó suy ra độ cong góc tập trung quanh điểm C này là -2a. Nếu góc a bằng p/2 thì độ cong âm sẽ là -p (hình ở góc dưới bên trái). Thực tế, độ cong tại một điểm nhọn có thể nhận vô số giá trị khác nhau. Ở góc dưới bên phải, ta nhấn mạnh tổng các góc, và độ cong lúc này trở thành < -p (ta đã tăng độ cong âm).

Ngược lại, ta có thể đạt đến một tình huống khá bất ngờ: ta có thể làm cho độ cong (góc) tập trung tại C trở thành... bằng không:

Bây giờ ta bắt đầu từ một biểu diễn đa diện của bề mặt Cross Cap có hai điểm nhọn, mỗi điểm có độ cong bằng -p:

Trong hình này có tám "posicon" có giá trị +p/2. Ta thêm bốn "posicon" khác có độ cong +p/4 và bốn "negaconi" có độ cong -p/4.

Cộng thêm hai điểm nhọn có độ cong -p.

Tổng cộng: 2p

Chia giá trị "độ cong tổng cộng" này cho 2p, ta thu được giá trị đặc trưng Euler-Poincaré của bất kỳ biểu diễn nào của mặt phẳng chiếu (hay bề mặt Boy).

Trong buổi thuyết trình, tôi đã đề cập đến nghệ thuật và cách hoán đổi vị trí hai điểm nhọn của bề mặt Cross Cap bằng cách lật ngược quả cầu. Tôi không nhớ nữa liệu tôi đã đưa điều này lên trang web của mình ở đâu. Thật rối rắm. Tôi sẽ phải tìm lại, nếu không sẽ bổ sung thêm. Thú vị đấy. Nhưng sự thật là thao tác này không được một người tham dự buổi thuyết trình nào thích:

• Tôi không hiểu tại sao Petit phải dùng quá nhiều công cụ để chứng minh sự đối xứng nối hai điểm nhọn của một Cross Cap. Có thể làm đơn giản hơn rất nhiều.

Và người đó đã vẽ lên bảng một quả cầu bị dẹt giữa hai thước thẳng chạm nhau, thực tế tạo thành một đường giao nhau tự thân dưới dạng đoạn thẳng, hai đầu đoạn thẳng là hai điểm nhọn, giống như bề mặt Cross Cap. Thật không may, và người đàn ông đó nhận ra điều đó, đây không phải là bề mặt Cross Cap.

• Chà, vậy thì nó là cái gì? Một người hỏi.

Đơn giản là một nhúng của quả cầu, có hai điểm nhọn. Nếu ta làm hai điểm này hội tụ về một điểm duy nhất, ta sẽ thu được một đường giao nhau tự thân trở thành một đường tròn. Và ta thu được (ở góc dưới bên phải) một nhúng của quả cầu, chỉ cần biến đổi nó thành nhúng chuẩn. Ta cũng có thể biểu diễn đa diện cho bề mặt này:

Đây là một bề mặt hai mặt, độ cong tổng cộng là 2p.

Tóm lại, ta có thể vui chơi khá nhiều với những "nhúng" này. Hãy xét một nhúng của một hình xuyến thu được bằng cách quay biểu tượng vô cực quanh một trục:

Kỹ thuật làm các điểm nhọn hội tụ về một điểm duy nhất giúp ta nhanh chóng đạt được nhúng chuẩn của hình xuyến, như đã giải thích trong các hình vẽ theo trình tự trên.

Nhưng không phải lúc nào việc này cũng dễ dàng và rõ ràng. Ví dụ, lấy một quả cầu bị dẹt giữa hai đoạn thẳng, lần này ngắn hơn đường kính. Ta vẫn thu được hai điểm nhọn.

Vì bề mặt này chứa một dải Möbius, nên nó là một mặt một phía. Chúng tôi đã đặt bên cạnh một biểu diễn đa diện giúp tính toán độ cong tổng cộng. Ta thu được kết quả bằng không. Nếu tôi không nhầm, thì nó phải là một chai Klein. Thông thường, người ta chỉ biết đến nhúng cổ điển của chai Klein, trong đó đường giao nhau tự thân là một đường tròn đơn giản. Nhưng còn những nhúng khác, như ở đây. Tôi thú nhận rằng tôi vẫn chưa tìm ra cách biến đổi nó thành một chai Klein thông thường. Hơn nữa, tôi cũng không biết liệu "nhúng" này và nhúng cổ điển có cùng lớp đồng dạng (với quả cầu, ví dụ, chỉ có một lớp). Trước mắt, điều đó không chắc chắn: thực tế, hình xuyến có thể được nhúng vào không gian ba chiều bằng bốn cách khác nhau, không thể chuyển đổi lẫn nhau bằng một phép đồng dạng trơn. Trong khi chờ đợi khám phá ra liệu có thể hay không trong trường hợp này, tôi đã vui vẻ biến đổi nó bằng cách tạo thêm hai điểm nhọn, từ đó thu được hai Cross Cap nối với nhau bằng một ống. Khi phân tích, ta thấy đặc trưng Euler-Poincaré bằng không.

Bề mặt kỳ lạ này nên biến đổi thành một trong bốn nhúng có thể của chai Klein, nhưng là nhúng nào? Dù sao, đây là một trong số đó, thu được bằng cách quay một chữ số 8 quanh một trục, trong khi chính nó thực hiện một nửa vòng quay quanh trục của nó:

Trang trước

Quay lại mục "Biến đổi một Cross Cap thành Boy"

Quay lại mục Tin mới Quay lại mục Hướng dẫn Quay lại Trang chính

Số lượt truy cập từ ngày 25 tháng 11 năm 2004:

Ảnh