Không gian hình học mô hình toán học
Tiếng Ý: Andrea Sambusetti, Đại học Roma
Clich vào đây để xem hình vẽ mô hình ở tỷ lệ 1:1, có thể in ra và cắt.
Sau khi photocopy bốn bản sao trên giấy cứng màu khác nhau, bạn có thể tự mình lắp ráp mô hình theo hướng dẫn.
Bạn chắc hẳn đã thấy một vật thể kỳ lạ quay không ngừng ở bên trái trang chủ của trang web này. Đó là gì?
Một ngày nào đó, khi có thời gian, tôi sẽ cài đặt trên trang web này một mô tả về quá trình lật ngược mặt cầu, như tôi đã minh họa trong số Pour la Science tháng 1 năm 1979, tức là... 22 năm trước! Việc này đòi hỏi nhiều chi tiết và một phần giới thiệu. "Lật ngược một mặt cầu" nghĩa là gì? Với người bình thường, mặt cầu chỉ đơn giản là tập hợp các điểm trong không gian cách một điểm O cố định một khoảng R. Nhưng với một nhà hình học, họ vẫn gọi là "mặt cầu" ngay cả với một vật thể bị biến dạng, ví dụ như một củ khoai tây. Để hiểu rõ hơn về các khái niệm này, hãy mua đĩa CD Lanturlu chứa truyện tranh "Topologicon". Tuy nhiên, nhà toán học còn đi xa hơn nữa. Một bề mặt được gọi là "trơn" khi tại mỗi điểm của nó có thể xác định được một mặt phẳng tiếp tuyến. Điều này đã cho phép nghĩ đến vô hạn các biến dạng trơn khác nhau của mặt cầu, trong vô số hình dạng khác nhau của một củ khoai tây, đồng thời thay đổi tùy ý diện tích bề mặt đó. Tuy nhiên, trong vũ trụ vật lý, một người cố gắng lật ngược mặt cầu (đưa bề mặt bên trong ra ngoài) sẽ gặp phải sự bất khả thi khi bề mặt tự xuyên qua chính nó. Khi giả định này được chấp nhận, tức là cấm bề mặt tự xuyên qua hoặc thậm chí chỉ chạm vào nhau, nhà toán học gọi đó là "nhúng" mặt cầu S2. Nhưng nhà toán học luôn được phép làm mọi thứ. Với họ, một mặt cầu là một đối tượng "ảo" chứ không phải vật chất, trong đó việc xuyên qua bề mặt được xem là khả thi. Dãy hình vẽ dưới đây cho thấy một mặt cầu đang tự xuyên qua. Một biểu diễn như vậy, cho phép có các điểm tự giao nhau, được gọi là "ngâm" (immersion).
Do đó, một "ngâm" có một tập hợp các điểm tự giao nhau (ở đây là một đường tròn đơn giản). Tuy nhiên, mặt phẳng tiếp tuyến phải thay đổi một cách liên tục. Với điều kiện này, khi nhìn vào hình vẽ trên, ta thấy rõ rằng phép biến đổi này đưa một phần bề mặt bên trong (biểu diễn bằng màu xanh) ra ngoài. Để hoàn tất quá trình lật ngược, ta cần dẹp phẳng phần giống như một ống ở xích đạo. Ở đây dường như có vấn đề: việc dẹp phẳng này sẽ phá vỡ tính liên tục của mặt phẳng tiếp tuyến, do đó biến đổi này sẽ chứa một bước không phải là một "ngâm".
Một ngày nọ, một nhà toán học người Mỹ tên là Stephen Smale đã chứng minh rằng "mặt cầu S2 chỉ có một lớp các ngâm". Câu nói bí ẩn này ngụ ý rằng ta có thể chuyển từ mặt cầu "chuẩn" sang biểu diễn "đối cực" của nó (tức là mỗi điểm được hoán đổi với điểm đối diện) thông qua một phép biến đổi chỉ gồm các ngâm thực sự — nói một cách đơn giản, đó là một mặt cầu đã được lật ngược. Raoul Bott là người hướng dẫn của Smale. Dù chứng minh hình thức của sự kiện này có vẻ đúng, nhưng chẳng ai có thể trực tiếp thực hiện được thao tác lật ngược này. Bott vẫn tiếp tục hỏi Smale: "Hãy cho tôi xem anh nghĩ sẽ làm thế nào"; và Smale, nổi tiếng thẳng thắn, đáp: "Tôi chẳng có chút ý tưởng nào cả". Sau này, Smale đã được trao giải thưởng Fields, tương đương với giải Nobel trong toán học. Nhắc vui một chút, bạn có thể tự hỏi tại sao lại không có giải Nobel cho toán học. Câu trả lời rất đơn giản: vợ ông đã bỏ đi với một nhà toán học.
Chuyện cứ thế kéo dài trong nhiều năm, cho đến khi một nhà toán học người Mỹ tên là Anthony Phillips công bố năm 1967 một phiên bản đầu tiên của quá trình lật ngược này trên Scientific American, cực kỳ phức tạp. Phiên bản thứ hai được phát minh vào đầu những năm 1970 bởi nhà toán học người Pháp (mù) Bernard Morin. Tôi là người đầu tiên vẽ ra dãy các biến đổi này, sẽ là chủ đề của một bài viết sắp tới trên trang web này, vốn rất phong phú. Tuy nhiên, tất cả điều này dẫn đến một nhận xét. Các bề mặt có thể được biểu diễn dưới dạng đa diện. Một khối lập phương hay tứ diện có thể được xem là các biểu diễn đa diện của mặt cầu, vì chúng có cùng tính chất tô-pô. Về điểm này, hãy tham khảo "Topologicon" của tôi. Hơn nữa, ta thấy rằng nếu có thể lật ngược mặt cầu, thì cũng có thể lật ngược một khối lập phương. Phép biến đổi do Bernard Morin sáng tạo (mà tôi đã minh họa trong bài viết tháng 1 năm 1979 trên Pour la Science) đi qua một mô hình trung tâm. Trong dãy này tồn tại một tính đối xứng. Đó là thứ tôi gọi là "mô hình trung tâm 4 tai". Tôi đang nói trước một chút. Tuy nhiên, giống như mặt cầu có thể được biểu diễn dưới dạng đa diện, thì các bước tiếp theo của phép biến đổi này cũng vậy. Điều đang quay trong trang chủ của tôi là phiên bản đa diện của mô hình trung tâm trong quá trình lật ngược mặt cầu, mà tôi đã phát minh ra khoảng một thập kỷ trước. Lợi ích của các mô hình đa diện này nằm ở chỗ chúng có thể được xây dựng bằng các mặt phẳng. Chúng cũng có thể được làm bằng giấy và kéo. Hãy xem hình vẽ dưới đây (tôi xin cảm ơn người bạn Christophe Tardy, người đã tạo ra các phần có kích thước chính xác).
Đây là bản vẽ bố trí lắp ráp, với một cái nhìn tổng quan. Tuy nhiên, để in ra, bạn nên chuyển sang trang découpage. In trang này ra. Sau đó, dùng bản in trên giấy thông thường từ máy in của bạn, photocopy 4 bản giống nhau, hai bản trên giấy cứng màu xanh, hai bản màu vàng. Bằng cách này, bạn sẽ có thể lắp ráp mô hình trung tâm của quá trình lật ngược khối lập phương.
Trên các phần cần cắt có các cặp chữ cái: a, b, c, d, e, f, v.v... Chỉ cần gấp giấy sao cho các chữ cái trùng nhau, rồi dán các mặt lại bằng băng dính trong suốt. Các hình vẽ tiếp theo cho thấy cách lắp ráp một trong bốn mảnh. Trước tiên, hãy xem cách gấp một trong bốn phần:
Hai trong bốn phần, được nhìn từ các góc khác nhau.
Sau đó, sắp xếp chúng sao cho tạo thành một vật thể có đối xứng bậc bốn, xen kẽ các phần màu xanh và màu vàng. Để thấy rõ dưới dạng 3D, hãy xem bản trình diễn của Tardy ở phần "thực tế ảo". Mô hình trung tâm đã được lắp ráp và còn được tạo thành dưới dạng "vrml" trong phần này. Dưới đây là hình ảnh mô hình được chụp từ nhiều góc độ khác nhau:
Không thể nói một điểm nào đó tương ứng với "trên" và điểm kia với "dưới", bởi vì những tên gọi này hoàn toàn tùy ý. Ở ảnh bên trái, điểm "trung tâm" tương ứng với "điểm kép" (nơi hai mặt cắt nhau) của mô hình trung tâm Morin, trong khi điểm trung tâm ở ảnh bên phải tương ứng với "điểm tứ trùng" (nơi bốn mặt cắt nhau) của mô hình tương tự. Tôi đã phải định hướng vật thể rất cẩn thận để ảnh bên trái không gợi lên hình ảnh một biểu tượng swastika. Ngoài ra, về mặt kiến trúc, biểu diễn đa diện của mô hình trung tâm Morin này có thể trở thành một dự án thú vị cho một "Nhà Văn hóa Quốc gia Xã hội Chủ nghĩa".
Một nhận xét cuối cùng: không tồn tại một biểu diễn đa diện "tốt" cho quá trình lật ngược mặt cầu (hay khối lập phương). Tôi dùng từ "tốt" để chỉ một chuỗi các mô hình rõ ràng đủ để mô tả dưới dạng các tờ giấy cần cắt một cách tương đối dễ dàng, như mô hình trên. Có lẽ nên tiến hành một nghiên cứu theo hướng này, điều mà bất kỳ ai, kể cả người không phải nhà toán học — ví dụ như một điêu khắc gia — đều có thể làm được. Hơn hai mươi năm trước, tôi từng là giáo viên điêu khắc tại Ecole des Beaux-Arts ở Aix-en-Provence, khi đó người giám đốc là người bạn thân thiết Jacques Boullier. Chính tại nơi này, lần đầu tiên đã được tạo ra biểu diễn dọc của bề mặt Boy bằng các elip, là chìa khóa để xây dựng phương trình ẩn đầu tiên do Apéry đưa ra. Tôi phải nói rằng ngay từ thời điểm đó, tôi đã ngạc nhiên trước trí tưởng tượng hình học của các sinh viên nghệ thuật, thường vượt xa cả các... nhà hình học.
Bộ đếm được cài đặt ngày 31 tháng 12 năm 2001. Số lần truy cập:
Tiếp tục đến trang Tin tức Trang chủ
Ảnh
