Mô hình topo học hình cầu, toán học
Tiếng Ý: Andrea Sambusetti, Đại học Roma
Clich vào đây để xem bản vẽ mô hình theo tỷ lệ 1:1, có thể in ra và cắt.
Sao chép bốn bản sao trên giấy carton màu khác nhau, bạn có thể tự mình lắp ráp mô hình theo hướng dẫn.
Bạn chắc chắn đã từng thấy một vật thể kỳ lạ quay không ngừng ở phía trái trang chủ của trang web này. Đó là cái gì?
Một ngày nào đó, khi có thời gian, tôi sẽ cài đặt trên trang web này một mô tả về quá trình lật ngược hình cầu, như tôi đã minh họa trong số Pour la Science tháng 1 năm 1979 – tức là... 22 năm trước! Việc này đòi hỏi rất nhiều chi tiết và một phần giới thiệu. "Lật ngược một hình cầu" nghĩa là gì? Với người bình thường, hình cầu chỉ đơn giản là tập hợp các điểm trong không gian cách một điểm O cố định một khoảng R. Nhưng với một nhà hình học, hình cầu vẫn được gọi là "hình cầu" ngay cả khi nó bị biến dạng, ví dụ như một củ khoai tây. Để hiểu rõ hơn về các khái niệm này, hãy mua đĩa CD Lanturlu chứa truyện tranh "Topologicon". Tuy nhiên, nhà toán học còn đi xa hơn nữa. Một bề mặt được gọi là "trơn" nếu tại mỗi điểm của nó có thể xác định được một mặt phẳng tiếp tuyến. Điều này cho phép ta nghĩ đến vô số biến dạng trơn của hình cầu, trong vô số hình dạng khác nhau của một củ khoai tây, đồng thời thay đổi tùy ý diện tích bề mặt đó. Tuy nhiên, trong vũ trụ vật lý, một người cố gắng lật ngược hình cầu (đưa bề mặt bên trong ra ngoài) sẽ gặp phải sự bất khả thi khi bề mặt tự xuyên qua chính nó. Khi giả định này được chấp nhận, tức là cấm bề mặt tự xuyên qua hoặc thậm chí chỉ chạm vào nhau, nhà toán học gọi đó là "nhúng" hình cầu S2. Nhưng nhà toán học luôn được phép làm mọi điều. Với họ, hình cầu là một đối tượng "ảo" chứ không phải vật chất, nơi việc xuyên qua bề mặt được xem là khả thi. Dãy hình vẽ dưới đây cho thấy một hình cầu tự xuyên qua. Một biểu diễn như vậy, cho phép tự xuyên qua, được gọi là "nhúng".
Do đó, một nhúng có một tập hợp các giao nhau tự thân (ở đây là một đường tròn đơn giản). Tuy nhiên, mặt phẳng tiếp tuyến phải thay đổi một cách liên tục. Dù vậy, khi nhìn vào hình vẽ trên, ta thấy rõ ràng rằng quá trình này đưa một phần bề mặt bên trong (biểu diễn bằng màu xanh) ra ngoài. Để hoàn thành việc lật ngược, ta cần nén phần giống như một ống ở xích đạo. Ở đây dường như có vấn đề: việc nén này sẽ phá vỡ tính liên tục của mặt phẳng tiếp tuyến, và do đó biến đổi này sẽ chứa một bước không phải là một nhúng.
Một ngày nọ, một nhà toán học người Mỹ tên là Stephen Smale đã chứng minh rằng "hình cầu S2 chỉ có một lớp nhúng duy nhất". Câu nói bí ẩn này có hệ quả là ta có thể chuyển từ hình cầu "chuẩn" sang hình biểu diễn "đối cực" (trong đó mỗi điểm được hoán đổi với điểm đối diện) thông qua một biến đổi chỉ gồm các nhúng thực sự – nói một cách đơn giản, đó là một hình cầu đã bị lật ngược. Raoul Bott là người đứng đầu Smale. Dù chứng minh hình thức cho sự kiện này có vẻ đúng, nhưng chẳng ai có thể thực hiện được một cách cụ thể thao tác lật ngược này. Bott vẫn luôn hỏi Smale: "Hãy cho tôi thấy cách anh nghĩ sẽ làm thế nào"; và Smale, người nổi tiếng thẳng thắn, đáp: "Tôi hoàn toàn không có ý tưởng gì cả". Sau này, Smale đã nhận được giải thưởng Fields – tương đương giải Nobel trong toán học. Nhắc vui một chút, bạn có thể tự hỏi tại sao lại không có giải Nobel cho toán học. Câu trả lời rất đơn giản: vợ ông đã bỏ chạy theo một nhà toán học.
Các vấn đề cứ thế kéo dài trong nhiều năm, cho đến khi một nhà toán học người Mỹ tên Anthony Phillips công bố vào năm 1967 trên Scientific American một phiên bản đầu tiên của quá trình lật ngược này – cực kỳ phức tạp. Phiên bản thứ hai được phát minh vào đầu những năm 1970 bởi nhà toán học người Pháp (mù) Bernard Morin. Tôi là người đầu tiên vẽ ra dãy biến đổi này, điều sẽ là chủ đề của một bài viết sắp tới trên trang web này, và cũng rất phong phú. Tuy nhiên, tất cả điều này dẫn đến một nhận xét. Các bề mặt có thể được biểu diễn dưới dạng đa diện. Một khối lập phương hay tứ diện có thể được xem là các biểu diễn đa diện của hình cầu, vì những vật thể này có cùng topo. Về điểm này, hãy tham khảo Topologicon của tôi. Ngoài ra, ta thấy rằng nếu có thể lật ngược hình cầu, thì cũng có thể lật ngược một khối lập phương. Biến đổi do Bernard Morin sáng tạo (mà tôi đã minh họa trong bài viết tháng 1 năm 1979 trên Pour la Science) đi qua một mô hình trung tâm. Trong dãy biến đổi này tồn tại một tính đối xứng. Đó là cái tôi gọi là "mô hình trung tâm 4 tai". Tôi đang nói trước một chút. Tuy nhiên, vì hình cầu có thể được biểu diễn dưới dạng đa diện, thì các bước tiếp theo của biến đổi này cũng vậy. Điều bạn thấy đang quay trong trang chủ của tôi là phiên bản đa diện của mô hình trung tâm trong quá trình lật ngược hình cầu, mà tôi tự nghĩ ra khoảng một thập kỷ trước. Lợi ích của các mô hình đa diện này nằm ở chỗ chúng có thể được xây dựng bằng các mặt phẳng. Chúng cũng có thể được làm bằng giấy và kéo. Hãy xem bản vẽ dưới đây (tôi xin phép được cảm ơn người bạn Christophe Tardy, người đã tạo ra các phần có kích thước chính xác).
Đây là bản vẽ lắp ráp, với hình ảnh tổng quan. Tuy nhiên, để in ra, bạn nên chuyển đến trang découpage. Hãy in trang này. Sau đó, lấy bản in trên giấy thông thường từ máy in của bạn, sao chép 4 bản giống nhau, hai bản trên giấy carton màu xanh, hai bản màu vàng. Với các tờ giấy cắt này, bạn sẽ có thể lắp ráp mô hình trung tâm của quá trình lật ngược khối lập phương.
Trên các phần cần cắt có các cặp chữ cái: a, b, c, d, e, f, v.v... Chỉ cần gấp giấy sao cho các chữ cái giống nhau trùng nhau, rồi dán các mặt lại bằng băng dính trong suốt. Các hình vẽ tiếp theo cho thấy cách lắp ráp một trong bốn mảnh. Trước tiên, hãy xem cách gấp một trong bốn phần:
Hai trong bốn phần, được nhìn từ các góc khác nhau.
Sau đó, sắp xếp chúng sao cho tạo thành một vật thể có đối xứng bậc bốn, với các mảnh xanh và vàng xen kẽ nhau. Để xem dưới dạng 3D, hãy xem bản thực hiện của Tardy tại mục "thực tế ảo". Mô hình trung tâm đã được lắp ráp và thậm chí được tạo thành dưới dạng "vrml" tại mục này. Dưới đây là hình ảnh của nó từ nhiều góc độ khác nhau:
Không thể nói một điểm nào đó tương ứng với "trên" và điểm kia với "dưới", vì các tên gọi này hoàn toàn tùy ý. Ở hình bên trái, điểm "trung tâm" tương ứng với "điểm kép" (nơi hai bề mặt giao nhau) của mô hình trung tâm Morin, trong khi điểm trung tâm ở hình bên phải tương ứng với "điểm tứ trùng" của mô hình đó (nơi bốn bề mặt giao nhau). Tôi đã phải định hướng vật thể rất cẩn thận để hình bên trái không gợi lên hình ảnh một biểu tượng swastika. Ngoài ra, về mặt kiến trúc, biểu diễn đa diện của mô hình trung tâm Morin này có thể trở thành một dự án đẹp cho Nhà Văn hóa Quốc gia Xã hội Chủ nghĩa.
Một nhận xét cuối cùng: không tồn tại một biểu diễn đa diện "tốt" cho quá trình lật ngược hình cầu (hay khối lập phương). Tôi dùng từ "tốt" để chỉ một chuỗi mô hình đủ rõ ràng, có thể mô tả dưới dạng các tờ giấy cần cắt một cách tương đối dễ dàng, giống như mô hình trên. Có thể cần một nghiên cứu theo hướng này, phù hợp với bất kỳ ai, kể cả người không phải là nhà toán học, ví dụ như một điêu khắc gia. Hơn hai mươi năm trước, tôi từng là giảng viên điêu khắc tại Ecole des Beaux-Arts ở Aix en Provence, khi người bạn thân Jacques Boullier làm hiệu trưởng. Chính tại nơi này, lần đầu tiên đã ra đời biểu diễn bán cầu của bề mặt Boy bằng các elip, là chìa khóa để xây dựng phương trình ẩn đầu tiên do Apéry đưa ra. Tôi phải nói rằng ngay từ thời điểm đó, tôi đã ngạc nhiên trước trí tưởng tượng hình học của sinh viên nghệ thuật, thường vượt xa cả những... nhà hình học.
Bộ đếm được cài đặt ngày 31 tháng 12 năm 2001. Số lần kết nối:
Tiếp tục đến trang Tin tức Trang chủ
Ảnh
