Mô hình trung tâm (đa diện) của việc lật ngược khối lập phương
Mô hình Trung tâm của Việc Lật Ngược Khối Lập Phương
31 tháng 12 năm 2001
Bạn nào cũng đã từng thấy một vật thể kỳ lạ quay mãi không ngừng ở phần bên trái trang chủ của website này. Đó là cái gì?
Một ngày nào đó, khi tôi có thời gian, tôi sẽ đưa lên website một mô tả về việc lật ngược hình cầu, như tôi đã minh họa trong số tháng 1 năm 1979 của tạp chí Pour la science, tức là đã cách đây... 22 năm. Tất nhiên, điều này đòi hỏi rất nhiều chi tiết và phần giới thiệu. Lật ngược một hình cầu là gì? Hình cầu không có cùng ý nghĩa đối với người bình thường và nhà toán học - nhà hình học. Với người bình thường, hình cầu được định nghĩa là tập hợp các điểm cách một điểm cố định O một khoảng R trong không gian ba chiều. Một nhà hình học vẫn sẽ gọi "hình cầu" là một vật thể tương đương với một "hình cầu biến dạng", một thứ gì đó giống như một củ khoai tây. Để hiểu rõ hơn các khái niệm này, hãy mua đĩa CD Lanturlu chứa truyện tranh "Le Topologicon". Nhưng nhà toán học còn đi xa hơn nữa. Khi một bề mặt được gọi là "trơn", ta có thể xác định tại mỗi điểm của nó một mặt phẳng tiếp tuyến. Điều này đã cho phép ta hình dung ra vô số biến dạng của "hình cầu ban đầu" thành vô số củ khoai tây, khi thêm vào đó diện tích của bề mặt đó có thể là bất kỳ giá trị nào. Tuy nhiên, trong một "thế giới vật lý", người biến dạng hình cầu này sẽ gặp phải sự bất khả thi khi làm cho hình cầu xuyên qua chính nó. Nếu việc xuyên qua hay thậm chí tiếp xúc bị cấm, ta sẽ gọi đó là các nhúng (plongements) của hình cầu S2. Nhưng một nhà toán học có toàn quyền. Với ông, hình cầu là một đối tượng "ảo", nơi các phép xuyên qua bề mặt trở nên khả thi. Chuỗi hình vẽ dưới đây cho thấy một hình cầu đã "tự xuyên qua". Ta gọi biểu diễn này của hình cầu là một nhúng (immersion).
Một nhúng có một tập hợp các điểm tự giao nhau (self-intersection) (ở đây là một đường tròn đơn giản). Mặt phẳng tiếp tuyến phải thay đổi liên tục. Tuy nhiên, khi nhìn vào các hình vẽ trên, ta thấy rằng thao tác này thực sự đã lật một phần (biểu thị bằng màu xanh lá) bên trong hình cầu ra ngoài. Để hoàn tất thao tác lật ngược này, ta cần ép dẹp một loại "bánh vòng" ở vùng xích đạo. Việc này dường như ban đầu rất khó khăn. Việc ép dẹp này sẽ phá vỡ tính liên tục của mặt phẳng tiếp tuyến. Do đó, thao tác này sẽ bao gồm một bước không phải là một nhúng.
Một ngày nọ, một nhà toán học người Mỹ tên là Stephen Smale đã chứng minh rằng "hình cầu S2 chỉ có một lớp nhúng duy nhất". Hệ quả của câu nói bí ẩn này là ta có thể nối tiếp một chuỗi các nhúng của hình cầu để chuyển từ "hình cầu chuẩn" sang biểu diễn "đối cực" của nó, tức là tất cả các điểm đều được thay bằng điểm đối cực của chúng. Nói cách khác... một hình cầu đã được lật ngược, mặt trước thành mặt sau. Raoul Bott là người hướng dẫn của Smale. Dù chứng minh của Smale, hoàn toàn mang tính hình thức, dường như không có sai sót, nhưng chẳng ai hiểu được cách thực hiện thao tác này. Bott cứ mãi nói với Smale: "Hãy cho tôi thấy cách anh định thực hiện", và Smale, với cái tóc nổi tiếng trên đầu, đáp: "Tôi hoàn toàn không có ý tưởng gì cả". Sau này, Smale đã nhận được huy chương Fields – giải thưởng tương đương giải Nobel trong toán học. Trong lúc đó, bạn có thể tự hỏi tại sao Nobel lại không bao giờ muốn thành lập một giải Nobel toán học. Câu trả lời rất đơn giản: vợ ông đã bỏ đi với một nhà toán học.
Tình hình vẫn như vậy trong nhiều năm, cho đến khi một nhà toán học người Mỹ tên là Anthony Phillips công bố năm 1967 một phiên bản đầu tiên của thao tác lật ngược này trong tạp chí Scientific American – một phiên bản cực kỳ phức tạp. Phiên bản thứ hai được phát minh vào đầu những năm 1970 bởi nhà toán học người Pháp (mù) Bernard Morin. Tôi là người đầu tiên vẽ ra chuỗi biến đổi này, như tôi đã nói, sẽ là chủ đề của một bài viết sắp tới trên website, khá dài dòng. Dù sao đi nữa, điều này dẫn chúng ta đến một kết luận phụ. Các bề mặt có thể được biểu diễn dưới dạng đa diện. Một khối lập phương hay tứ diện có thể được xem như các biểu diễn đa diện của hình cầu, bởi vì những vật thể này có cùng độ tô-pô. Về điểm này, hãy tham khảo truyện tranh của tôi "Le Topologicon". Ngoài ra, ta có thể hiểu rằng nếu có thể lật ngược một hình cầu, thì cũng có thể lật ngược một khối lập phương. Biến đổi do Bernard Morin phát minh (mà tôi đã minh họa trong bài báo tháng 1 năm 1979 của Pour la science) đi qua một mô hình trung tâm. Trong chuỗi này tồn tại một tính đối xứng. Đó chính là "mô hình trung tâm bốn tai". Tôi đang vội vàng nói trước. Nhưng tương tự như hình cầu có thể được biểu diễn dưới dạng đa diện, thì các bước biến đổi tiếp theo cũng có thể được biểu diễn như vậy. Vật thể bạn thấy quay trên trang chủ của tôi chính là phiên bản đa diện của mô hình trung tâm lật ngược hình cầu – một mô hình tôi tự nghĩ ra cách đây khoảng mười năm. Lợi ích của các mô hình đa diện này là chúng có thể được xây dựng bằng các bề mặt phẳng. Ta thậm chí có thể sắp xếp chúng theo các cách cắt rời. Hãy nhìn vào hình vẽ dưới đây (tôi xin cảm ơn người bạn Christophe Tardy, người đã tạo ra các phần được ghi kích thước chính xác).
Đây là một hình vẽ sẽ in ra với kích thước nhỏ, không thể sử dụng được.
In hình này trên giấy A4 Bạn cần in bốn bản sao trên giấy cứng A4, hai bản bằng một màu, hai bản bằng màu khác.
Đây là hình ảnh tổng quan về bản cắt. Tuy nhiên, để in ra, bạn nên truy cập trang cắt rời. In trang đó ra. Sau đó, mang bản in trên giấy thường từ máy in của bạn đến một máy photocopy và in bốn bản giống hệt, hai bản trên giấy bristol màu xanh lá và hai bản trên giấy màu vàng. Bằng cách này, bạn sẽ có thể xây dựng mô hình trung tâm của việc lật ngược khối lập phương.
Trên các mảnh cắt, bạn thấy các cặp chữ cái: a, b, c, d, e, f, v.v... Chỉ cần gấp theo cách đưa các chữ cái giống nhau trùng lên nhau, rồi dán các mặt lại với nhau bằng băng keo trong suốt. Các hình vẽ tiếp theo cho thấy cách lắp ráp một trong bốn mảnh. Trước tiên, hãy xem cách bắt đầu gấp một trong bốn mảnh:
Hai trong bốn mảnh này, được nhìn từ các góc khác nhau.
Sau đó, chúng được ghép lại để tạo thành một vật thể có đối xứng bậc bốn, xen kẽ giữa các mảnh màu xanh lá và màu vàng. Để xem điều này theo cách 3D, hãy xem các mô hình thực tế do ông Tardy tạo ra trong "thực tế ảo". Mô hình trung tâm hoàn chỉnh cũng được tạo thành dưới dạng "vrml" trong phần này. Đây là vật thể được nhìn từ các góc độ khác nhau:
Không thể nói rằng một hình ảnh là "trên" và hình kia là "dưới", vì những tên gọi này hoàn toàn mang tính tùy ý. Ở hình bên trái, điểm "trung tâm" tương ứng với "điểm kép" (nơi hai lớp bề mặt giao nhau) của mô hình trung tâm Morin, trong khi điểm trung tâm bên phải tương ứng với "điểm tứ trùng" của mô hình đó (nơi bốn lớp bề mặt giao nhau). Tôi đã cẩn thận định hướng vật thể để hình bên trái không gợi lên hình ảnh một chữ thập gamma. Nếu không, về mặt kiến trúc, biểu diễn đa diện này của mô hình trung tâm Morin có thể trở thành một dự án nhà văn hóa Quốc gia Xã hội Chủ nghĩa rất tốt.
Hình cuối cùng:
Một nhận xét cuối cùng: không tồn tại một biểu diễn đa diện "tốt" nào cho việc lật ngược hình cầu (tức là lật ngược khối lập phương). "Tốt" ở đây có nghĩa là một chuỗi mô hình đủ rõ ràng để có thể lắp ráp dưới dạng cắt rời một cách tương đối dễ dàng, như mô hình ở trên. Một nghiên cứu cần được thực hiện theo hướng này, điều mà bất kỳ ai – thậm chí cả người không phải nhà toán học, một nghệ sĩ điêu khắc, ví dụ – đều có thể làm được. Hơn hai mươi năm trước, tôi từng là giảng viên điêu khắc tại Trường Mỹ thuật Aix-en-Provence, thời điểm trường còn do người bạn tốt của tôi Jacques Boullier làm hiệu trưởng. Chính tại nơi này, lần đầu tiên đã ra đời biểu diễn dọc theo đường kinh tuyến của bề mặt Boy bằng các đường elip, chìa khóa để xây dựng phương trình ẩn đầu tiên bởi Apéry. Tôi phải thú nhận rằng lúc đó tôi luôn ngạc nhiên trước trí tưởng tượng hình học của sinh viên nghệ thuật, thường vượt xa cả... những nhà hình học.
Bộ đếm được khởi động ngày 31 tháng 12 năm 2001. Số lần kết nối:
Hình ảnh
