29 tháng 2 năm 2010

Tài liệu không có tên

Liệu chúng ta có thể tư duy như một con cua?

27 tháng 2 năm 2009

Chúng ta biểu đạt, trong số những phương tiện khác, nhờ ngôn ngữ, và ngôn ngữ này được cho là phản ánh cấu trúc logic của chúng ta. Trong ngôn ngữ của chúng ta, chúng ta đã xây dựng một cấu trúc hai giá trị, với ĐÚNG và SAI, ĐÚNG và SAI, dẫn đến “tư duy Aristote” theo đó mọi phát biểu (một nhà logic học sẽ gọi là “mệnh đề”) chỉ có thể là ĐÚNG hoặc SAI. Đây chính là nguyên lý loại trừ thứ ba.

Tuy nhiên, thực tế không tuân theo lý thuyết, và cách diễn đạt của chúng ta đầy rẫy những mệnh đề không thể quyết định, không vừa ĐÚNG vừa SAI, như

“Tôi đang nói dối”

Trong suốt một thế kỷ qua, các nhà logic học đã vận dụng hết thảy trí tưởng tượng để cố gắng xây dựng các hệ logic không hai giá trị. Hãy xem một ví dụ về logic ba giá trị: logic mờ, với các giá trị chân lý là

ĐÚNG — Không xác định — SAI

một hệ logic đã chứng minh tính hiệu quả thực tiễn trong các hệ tự động, điều khiển quy trình (trong kỹ thuật).

Cũng đã có những nỗ lực xây dựng một logic bốn giá trị, trong đó phổ biến nhất có các giá trị chân lý như sau:

Một nỗ lực mở rộng không tỏ ra sinh lời.

Trong tác phẩm của ông:

Để liên hệ trực tiếp với tác giả:

Erratum: Tác giả thông báo có một lỗi in trong một bảng được trình bày trong cuốn sách của ông. Đó là bảng ở trang 29, phiên bản màu ở trang 135. Trước hết, xin chân thành cảm ơn sự quan tâm của quý độc giả đối với công trình này và việc đã chọn mua cuốn sách.

Đây là những điều đôi khi xảy ra… Một lỗi in khá rõ rệt! Dòng và cột thứ ba, thay vì số 1 lại ghi nhầm là số 0. Bản hiệu chỉnh này sẽ được gửi tới tất cả độc giả trong vài ngày tới.

Ngoài ra, các dấu = và \ nằm trên các đường chéo: các dấu gạch kép này, khi nhìn theo một đường chéo tạo thành dấu =, còn theo đường chéo kia tạo thành \, mà chúng ta phải hiểu là “khác”, tại vị trí chúng xuất hiện.

Mong rằng điều này giúp quý độc giả tiếp tục đọc sách một cách hiệu quả. Chúng tôi xin gửi lại lời cảm ơn sâu sắc nhất (và xin lỗi vì sự cố này!), đồng thời luôn sẵn sàng giải đáp mọi thắc mắc hoặc phát hiện thêm lỗi in mới!

Hình 2.2, cần thay thế bằng bảng trên

Denis Seco de Lucena mời chúng ta tham gia một cuộc khám phá kỳ lạ, nơi độc giả có thể không trở về nguyên vẹn. Hãy bắt đầu từ việc xem xét ngôn ngữ — đây là cách tiếp cận của mọi nhà logic học. Tác giả đề xuất khái niệm tính xuyên ngang. Theo hướng này, các mệnh đề, bất kỳ nội dung nào, đều có thể được triển khai dưới bốn hình thức, đối xứng từng đôi, tạo thành “hai cặp đối xứng”. Có rất nhiều ví dụ trong ngôn ngữ, song “mệnh đề thứ tư” đôi khi rất khó diễn đạt, thậm chí không tương ứng với bất kỳ tính từ nào hiện có trong ngôn ngữ.

Trước hết, hãy xét những ví dụ mà tính xuyên ngang được thể hiện rõ ràng. Lấy khái niệm chuyển động làm ví dụ: có bốn cách “chuyển động”:

Ngay lập tức, các cặp đối xứng hiện ra: Lùi lại là đối lập của tiến lên và ngược lại; Di chuyển là đối lập của dừng lại và ngược lại.

Nếu áp dụng vào topo học, ta có bốn trạng thái副 từ hoặc cụm trạng từ:

29 tháng 2 năm 2010: Bạn tôi Jacques Legalland đề xuất cách diễn đạt mệnh đề thứ tư như sau:

Nếu xét về màu sắc:

27 tháng 2 năm 2010: Jie đề xuất:

Thay đổi theo thời gian:

Trạng từ “không bao giờ” là tương đương thời gian của cụm trạng từ “không đâu” (xem ở trên).

Cách nhìn này gợi nhớ đến văn bản Ummo về logic, theo như tôi nhớ, cũng đề cập bốn giá trị chân lý:

Nếu lấy lại các giá trị chân lý của logic bốn giá trị cổ điển:

27 tháng 2 năm 2010: Cần diễn giải lại giá trị thứ tư như “không phù hợp với loại phân loại này”:

Xét số thực:

Mệnh đề thứ tư có thể là:

Chuyển sang quan hệ suy luận:

Ta thấy xuất hiện bốn cách “phát biểu”, khác biệt với logic bốn giá trị “cổ điển” được nêu ở trên. Cặp mệnh đề cuối không còn đối xứng như trước. Tác giả cho rằng các cặp mệnh đề, tính từ này là “xuyên ngang”.

Cách trình bày của chúng ta khác với cách của tác giả trong cuốn sách — mà tôi khuyến khích độc giả đọc. Ngay từ đầu, bạn sẽ tự hỏi: “Đằng sau điều này là gì?”. Câu hỏi ấy sẽ dẫn bạn đi rất xa. Là một nhà khoa học, tác giả đã tìm thấy điểm khởi đầu từ một lá thư tôi nhận được năm 1992 từ những người gửi bí ẩn tự xưng là “Ummo”, gửi từ Riyadh, Ả Rập Xê Út. Với những ai chưa biết câu chuyện này, cần nhắc lại bối cảnh: Trong số tài liệu thu thập từ Tây Ban Nha từ giữa những năm 1970, các tác giả các văn bản này nhấn mạnh mạnh mẽ vào việc cần từ bỏ logic Aristote và chuyển sang logic bốn giá trị.

Trong nhiều năm, tôi miệt mài thử nghiệm nhiều phương án khác nhau. Năm 1992, tôi sở hữu một máy Macintosh thế hệ đầu, chạy 2 MHz, hoàn toàn không có modem hay phương tiện liên lạc nào. Trên máy tính này, tôi ghi lại những suy nghĩ chỉ một mình tôi biết. Bị cuốn hút bởi định lý Gödel, tôi nhớ lại định lý này dựa trên số học (thao tác với số nguyên tự nhiên), được tiên đề hóa vào cuối thế kỷ trước bởi nhà toán học Peano. Nhà toán học Gauss từng phát minh ra những gì ngày nay gọi là số nguyên Gauss, tức các số phức có phần thực và ảo đều nguyên.

Tôi nhận ra rằng người ta thường xem các số nguyên Gauss như các cặp số nguyên tự nhiên (a, b), và chưa từng có tiên đề hóa nào được đề xuất để xây dựng chúng ngoài việc quy ước chúng là “hai số nguyên”.

Vài ngày sau khi ghi lại những suy nghĩ trên vào ổ cứng, tôi bất ngờ nhận được một lá thư gửi từ Riyadh, Ả Rập Xê Út, trong đó đề cập chính xác những suy nghĩ ấy.

Nội dung lá thư này

Denis, một nhà khoa học, đã lấy lá thư kỳ lạ này làm điểm khởi đầu cho một hành trình kéo dài mười năm, kết quả được trình bày trong cuốn sách vừa xuất bản của ông. Do nguồn gốc ngoại lai, thậm chí có phần gây tranh cãi, nên ông quyết định xuất bản dưới bút danh.

Bạn có nhớ cuốn Du centre de la Terre của Jules Verne, nơi các nhân vật giải mã một thông điệp bí ẩn do Aarne Saknudsen để lại, từ đó tìm ra con đường dẫn tới lõi Trái Đất? Bạn sẽ gặp điều tương tự trong cuốn sách của Denis.

Ông không phải người đầu tiên dấn thân vào cuộc phiêu lưu này, nhưng mọi nỗ lực trước đây đều vô ích, dù đôi khi bề ngoài rất hấp dẫn. Tôi nghĩ đến bài luận của người Canada Norman Mohlant trên trang ummo.science. Một nhà toán học sẽ nói: “Người ta có thể tạo ra vô vàn đại số, chơi với chúng như chơi Lego. Nhưng tạo ra những mảnh Lego mới thì hoàn toàn là một chuyện khác.”

Điểm “hơn” trong công trình của Denis nằm ở đâu?

Ông bắt đầu bằng việc lần theo con đường được vạch ra trong lá thư Riyadh, dẫn tới các đối tượng toán học do nhà toán học Ireland Hamilton phát minh năm 1843: số quaternion. Chúng thường được trình bày như một dạng mở rộng của số phức:

Q = a + b i + c j + d k

với

i² = -1
j² = -1
k² = -1
i j = k
(i j)² = k j
i j = -j i (phản giao hoán)
j k = i
j k = -k j
k i = j
k i = -i k

Các phép nhân là phản giao hoán.

Khi Hamilton phát minh ra các quaternion và khám phá ra vô vàn tính chất của chúng, ông đã tự nhủ:

• “Tất cả điều này chắc chắn phải có ứng dụng trong vật lý, nhưng ứng dụng nào đây?”

Ông không thể ngờ rằng mối liên hệ ấy chỉ được thiết lập khi cơ học lượng tử ra đời. Thực vậy, ví dụ: các ma trận Pauli chính là quaternion.

Tác giả cho thấy làm thế nào các suy luận thuần túy hình học, từ nội dung lá thư, dẫn tới việc xây dựng hình học của quaternion (thông qua “mặt phẳng phức gồm hai mặt phẳng vuông góc”). Cuốn sách mang tên “Bí mật của lá thư Riyadh”. Bí mật ấy được hé lộ ở đây. Trong lá thư, người ta đề cập đến định lý Fermat nổi tiếng: phương trình số nguyên

aⁿ = bⁿ + cⁿ

chỉ có nghiệm khi n ≤ 2.

Nhà toán học Lagrange là người đưa ra định lý tương tự, vốn trước đó Fermat cũng từng đề xuất dưới dạng giả thuyết: mọi số nguyên đều là tổng của bốn số chính phương.

N (số nguyên bất kỳ) = a² + b² + c² + d²

Phải kể cả số 0, do đó:

3 = 1² + 1² + 1² + 0²

Một chứng minh sau này của Lagrange sử dụng quaternion, với lập luận quy nạp.

Tôi rất mong Denis tìm ra chứng minh định lý Lagrange bằng quaternion và đăng lên trang web của ông.

Cho quaternion:

Q = (a, b, c, d)

Định nghĩa liên hợp của nó là:

liên hợp của Q = Q̄ (a, -b, -c, -d)

Denis đưa ra giả thuyết rằng định lý Fermat, dưới dạng phát biểu ban đầu, là hệ quả của một biểu diễn quaternion, cụ thể phương trình:

(Q₁Q̄₁)ⁿ = (Q₂Q̄₂)ⁿ + (Q₃Q̄₃)ⁿ

với quaternion có thành phần nguyên, chỉ có nghiệm khi n ≤ 2.

27 tháng 2 năm 2010: Tôi nhận thấy hai phát biểu này tương đương, vì mô-đun của quaternion (a, b, c, d) là a² + b² + c² + d² — tức một số nguyên, theo định lý Lagrange.

Phần phụ lục này có thể khiến độc giả phổ thông e ngại. Tuy nhiên, toàn bộ cuốn sách vẫn rất dễ tiếp cận. Nhiều ví dụ về tính xuyên ngang được đưa ra như một trò chơi ngôn ngữ thú vị và kích thích, giúp độc giả tự tìm thêm ví dụ tương tự. Các sơ đồ hình học cũng rất rõ ràng.

Cuốn sách này dường như là viên gạch đầu tiên cho một công trình lớn hơn — mở ra một lối tư duy khác biệt.

Để đặt mua sách (18 euro, đã bao gồm phí vận chuyển, 144 trang):

http://quadrilogie.com

2 tháng 3 năm 2009: Độc giả ông Christian Pedro đã cung cấp cho chúng tôi một file PDF chứa chứng minh định lý bốn bình phương của Lagrange.

Định lý bốn bình phương của Lagrange

Ghi chú thêm: Tích các mô-đun của hai quaternion bằng mô-đun của tích chúng. Chứng minh này do nhà toán học Euler (1750) đưa ra.

(a₁² + a₂² + a₃² + a₄²) × (b₁² + b₂² + b₃² + b₄²) =

(a₁b₁ - a₂b₂ - a₃b₃ - a₄b₄)² + (a₁b₂ + a₂b₁ + a₃b₄ - a₄b₃)² + (a₁b₃ - a₁b₄ + a₃b₁ - a₄b₃)² + (a₁b₄ + a₂b₃ - a₃b₂ + a₄b₁)²

Tức là mô-đun của tích hai quaternion:

A = (a₁, a₂, a₃, a₄), B = (b₁, b₂, b₃, b₄)

là mô-đun của quaternion:

C = (a₁b₁ - a₂b₂ - a₃b₃ - a₄b₄, a₁b₂ + a₂b₁ + a₃b₄ - a₄b₃, a₁b₃ - a₁b₄ + a₃b₁ - a₄b₃, a₁b₄ + a₂b₃ - a₃b₂ + a₄b₁)

Ông Pedro hoài nghi rằng cách tiếp cận dựa trên quaternion có thể dẫn tới một chứng minh đơn giản (so với chứng minh của Wiles, dài hàng trăm trang!), dù hàng ngàn nhà toán học đã thất bại với bài toán này.

Tôi không có quan điểm nào. Nhưng tôi xin nêu hai nhận xét.

Người ta biết rằng số nguyên tự nhiên có thể biểu diễn trong bất kỳ hệ cơ số nào, và số nguyên tố giữ tính chất này trong mọi cơ số. Vì vậy, hãy chọn cơ số đơn giản nhất: cơ số 2, với hai phần tử: 0 và 1.

Nhà toán học Ý Giuseppe Peano (1858–1932) đã đưa ra năm tiên đề làm nền tảng cho số học số nguyên tự nhiên.

Nhà toán học Ý Giuseppe Peano

• Phần tử gọi là zero, ký hiệu: 0, là một số nguyên tự nhiên.
• Mọi số nguyên tự nhiên n có một duy nhất số kế tiếp, ký hiệu s(n) hoặc S n.
• Không có số nguyên tự nhiên nào có 0 là số kế tiếp.
• Hai số nguyên tự nhiên có cùng số kế tiếp thì bằng nhau.
• Nếu một tập hợp các số nguyên tự nhiên chứa 0 và chứa số kế tiếp của mỗi phần tử của nó, thì tập hợp đó bằng N.

Tiên đề đầu tiên thiết lập tập số nguyên tự nhiên không rỗng; tiên đề thứ ba khẳng định nó có phần tử đầu tiên; tiên đề thứ năm khẳng định nó thỏa mãn nguyên lý quy nạp.

Dựa trên năm tiên đề này, số học Peano dẫn tới logic bậc nhất, vốn không tránh khỏi định lý bất toàn của Gödel. Chính nhận xét này — rằng không tồn tại tiên đề hóa riêng cho số học số nguyên Gauss z = a + i b (với a, b là số nguyên tự nhiên), vốn dường như được xây dựng từ “hai lần số học Peano”, khác biệt — đã thúc đẩy tôi gửi lá thư Riyadh.

Những số nguyên Gauss này, thay vì là “các điểm trên lưới đều”, trở thành các cặp điểm (a, b) lấy từ các đoạn thẳng chia khoảng. Số học số nguyên Gauss do đó trở thành “hai lần số học Peano”.

Bây giờ, tôi đặt câu hỏi:

- Có tồn tại hệ tiên đề nào xác định số học của các quaternion nguyên không? Nếu có, hệ logic nào sẽ được dẫn tới? Liệu hệ logic ấy có phải là bốn giá trị? Và liệu nó có hoàn chỉnh, nghĩa là ngoài bốn giá trị chân lý này, không còn giá trị thứ năm nào — tức không tồn tại mệnh đề không xác định nào nằm ngoài bốn trường hợp tạo thành bộ lọc logic bốn giá trị?

Tôi không thể tham gia tranh luận về các câu hỏi này với độc giả, vì tôi đang bận soạn một album mới về cơ học chất lỏng. Mọi thắc mắc xin gửi trực tiếp tới tác giả cuốn sách, Denis.

Dù vậy, tôi sẽ chứng minh trong album này rằng ngay cả vào cuối những năm 1950 (khi tôi là sinh viên Trường Đại học Hàng không Dân dụng Paris), một số khái niệm hiện nay hoàn toàn được tích hợp vào ngành hàng không, cả dân sự lẫn quân sự, đã bị các giáo sư của tôi coi là vi phạm các định luật vật lý.

Tôi cũng nhắc lại lời của một người tên Couturier, hiện tôi nghĩ là Giám đốc Đài quan sát Paris, người năm 1976 đã nói với tôi về lý thuyết của tôi về sự tiêu diệt sóng xung kích bởi lực Laplace:

- Thật vô lý. Sóng xung kích của anh, anh nhất định phải tìm thấy nó ở đâu đó…

Toán học, như vật lý, có thể vẫn còn khả năng rút ra một con thỏ mới từ chiếc mũ có đáy kép, vốn tưởng đã được khám phá từ lâu.

Mới Hướng dẫn Trang chủ