数学宇宙学与多面体理论
... 这是一个我某天下雨时发明的单面体。如果你仔细看，这是一个只有一个面和一个边的多面体。如果你在该面的某一点上取一个法向量，并让它旋转一周，它会重新出现，但已经旋转了90度。只有在第四次旋转之后，它才能恢复原来的位置。
...我之前是凭空想象画出上面的图。但现在已经有程序可以处理这种物体了。那些已经下载（免费）Cosmo Player或者愿意下载的人可以欣赏我的朋友Christophe Tardy在该单面体上的作品。在那之前，我重新用绘图编码处理了该物体的唯一边，就像他从一张图片中提取出来的那样。据我所知，目前还没有软件能用点画来表示隐藏部分并中断线条。但也可以使用更淡的云状图案。
...无论如何，我们这里有一个唯一的边，没有任何顶点。
...这是数学上的奇观吗？也许。如果您已经看过我的科学作品或其通俗介绍，您可能知道我正在发展一个“双层宇宙”的宇宙模型，最初的构想来自André Sakharov（1967年）。顺便提一下，这两个“宇宙的两个面”有相反的时间坐标。关于时间或“时间”的问题仍然棘手。这个词是最难捉摸的。什么是“时间之箭”？我们能说“两个反平行的时间之箭”吗？（这是Sakharov最初的设想）。
...在我1994年发表在《Nuovo Cimento》杂志上的论文中，我曾考虑过一个想法，这个想法最初由Linde在1988年提出，即这些“双胞胎区域”实际上可能是“对极区域”。因此，这两个双胞胎宇宙（与Linde不同，我设想的两个宇宙通过引力场相互作用，而他的宇宙则完全互不干扰）。因此，它们是“既是两个又是同一个”。一个数学家会说，这种结构是双层覆盖（球面S2是Boy曲面的双层覆盖）。在《Nuovo Cimento》中，我设想了三维Boy曲面的双层覆盖（P3），将超球面S3的对极区域重合。但我一直认为，实际上可能是P4的双层覆盖，将超球面S4的对极区域重合。在这种情况下，这个既是唯一又是双层的宇宙中两个“相邻”区域的相互作用，会将超球面S4上的对极区域重合，这些区域不仅互为镜像（P对称），而且也是T对称的，即“具有相反的时间之箭”。我们又回到了Andréi Sakharov的想法。
...单面体是四层宇宙（“宇宙多面体”）的一个教学图像。一个“既是四个又是一个”的宇宙。四个这样的“相邻”区域将相互作用。但这些区域会是什么？我们又该如何在这样的图中“读取”它们？单面体的右侧截面（只是一个教学图像）是一个正方形（因为它是由这个正方形旋转产生的，详见C.Tardy制作的虚拟现实图像）。正方形截面的四个边代表宇宙中的四个区域，它们会相互关联。因此，至少在局部上，我们可以称之为“四层覆盖”。如果我们将单面体表面的法线视为时间之箭，那么它会随着这个生成正方形一起旋转。因此，这四个宇宙部分将具有“十字形”时间之箭，两两反平行：
...也可以这样描述：存在两对双胞胎宇宙，它们的时间之箭两两反平行。这在某种程度上是：
( Sakharov )2
...为什么要如此复杂？这难道是一种新的几何游戏吗？嗯……让我告诉您我真正想的是什么。当我构建双宇宙模型时，我证明了第二个宇宙可以容纳与我们非常相似的物质，包括它的双胞胎质子、双胞胎电子、双胞胎光子等（我们使用“双胞胎”一词，由Sakharov提出，或者“幽灵”一词，更流行于超弦理论世界）。我还表明，反转时间实际上等同于反转质量，因此也等同于反转能量。
...Linde是Sakharov的学生。1983年，我在莫斯科国家酒店的一间房间里与他进行了长时间的讨论，他来与我会面。1988年，他提到一个双宇宙，其中两种物质的能量是相反的。然后，意识到在同一个时空区域中共存这两种物质可能会带来问题，他将“另一种物质”——能量为负的——放到了对极。但这样做时，他并没有意识到他重新发现了他导师Sakharov的想法（Sakharov主张相反的时间），因为（J.M.Souriau 1972）反转时间或反转质量和能量实际上是同一回事。...如果您有勇气或能力阅读《几何物理学B》的论文，您会看到双宇宙中也存在物质的对偶性。不仅存在双胞胎物质，而且在第二个宇宙侧面中也存在双胞胎反物质。
...所有这些都可以扩展到四层的上下文中。这样，我们将得到一种虚数物质和一种虚数双胞胎物质（与我们相比，它们具有纯虚数时间之箭，彼此反平行）。
...问题：这种虚数物质如何与我们的物质相互作用？我坦白说，目前我还没有任何想法，但我一定会找到办法。几何学是一个充满各种技巧的丰富世界。...让我们暂时停下来思考这个想法。相对于我们，这个虚数世界是什么？从词源上讲，这是一个元世界。...理论物理学家和宇宙学家的装备，也就是一个优秀几何学家的装备，可以设想（正如Linde在1988年所注意到的）“平行世界”，其中的粒子可能与我们相同，或者因为它们是我们的镜像（P对称性），或者因为它们是负能的双胞胎（T对称性），或者两者兼有。在这种情况下，为什么我们不干脆大胆地设想具有纯虚数参数（质量、电荷、时间之箭等）的粒子？这将引出一个元世界的想法，它也可能由粒子构成，遵循一种与我们非常相似的纯虚数物理，我们或许可以称之为“元物理学”。
...我不记得是哪位哲学家写过“形而上学是一片大海，而我们没有船也没有帆来渡过它”。这句话是否是最终的谴责？让我们思考一下。不久以前，直到有人成功合成尿素（Wöhler于1828年），人们一直认为“生命”是“上帝或大自然的领域”，根据不同的选择。我们不得不承认，从那时起，情况已经发生了很大的变化。...用另一种说法，“上帝”或“大自然”是否可以被方程表达，通过几何、群论和场论（或者通过超弦编织的网来捕捉）？
...我相信，我们不应事先禁止任何事情，但要结合大胆和谦逊。关于生物学，最近几十年的成功让我们产生了一种错觉，以为我们能够做很多事情，我们“取得了巨大的进展”，最终不久之后，我们将了解所有关于被称为“生命”的现象（这是Joël de Rosnais这个永恒乐观主义者所持的观点）。确实，我们能够绘制DNA分子图谱，能够用拇指和食指夹住基因，把它们从这里拿到那里等等。
令人印象深刻。
...但Testard说：“这行不通”。这样移植的基因会失去其原始功能，或者根本不再起作用。当然，这是基因移植者不会大声宣扬的事情。但Testard却这么说，这让他们很烦恼。基因工程可以制造大量泡沫，获得资助并申请专利。我不是生物学家，因此对这些事情并不十分了解。请阅读Testard（Seuil出版社的可信人物）。结论是，通过这种方式做地图测绘，我们并没有取得我们所期望的那么大的进展。“DNA”Testard说，只是一个数据银行。据他所说，这种复杂的分子并不包含“细胞的全部智慧”。这种“智慧”应该在细胞本身中寻找，而细胞才是“真正的基本生命实体”。基因移植者就像那些在房子里移动某些元素的人，比如把门把手和锁安装在墙上而不是门上，惊讶于它们不起作用；或者把电灯泡接在水龙头上，惊讶于它们不亮。
开放性问题。
...有了这个四层宇宙，空气中弥漫着形而上学的气息。最坏的情况，这只是一个几何学家的尝试，是朋友之间的一种娱乐。最好的情况……我不知道。
...无论如何，双胞胎宇宙作为双层覆盖，值得被称为“平行宇宙”。如果我们将它们的时间之箭视为空间表面的法线，并且这些时间之箭是反平行的，那么这两个空间就像涂在二维表面两侧的两层油漆。
...在同样的思路下，另外两个宇宙，它们具有纯虚数时间之箭，可以被视为“与我们垂直”。由此产生了这样一个定理的想法，也许有一天会实现：
与同一第三个宇宙垂直的两个宇宙彼此平行。
有待进一步研究。
