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平移群：
考虑二维空间（x, y）。在此类空间中，平移由平移向量（Dx, Dy）定义。通常我们写作：
(27) x' = x + Dx
y' = y + Dy
为了得到新的值 x' 和 y'，我们使用加法。我们能否通过……乘法得到相同的结果呢？
考虑以下矩阵：
(28)
注意到它们由两个独立参数 Dx 和 Dy 定义。因此该群的维数为 2。
形式为：
(29)
注意到这与简单的矩阵乘法
(30) g × r
有本质区别。
这是一种特殊的群作用。
(31)
此外，我们也可以考虑三维或四维空间中的平移。相应的方阵构成的群为：
(32)
(33)
对应的作用为：
(34)
平移群是可交换的。其单位元是零平移。
为何使用矩阵群？
……利用矩阵群，我们可以将多个操作合并为一个操作，一次完成。考虑以下矩阵和作用：
(35-1)
……我们将两个操作结合：一个旋转（角度为 a），加上一个平移（Dx, Dy）。
群 G 中的元素 g 作用于空间 r = (x, y)，不是“直接”作用，而是通过一种更精细的“作用”实现。这个群
(35-2)
被称为“特殊欧几里得群 SE(2)”，它作用于二维空间。这个名字将在后面解释。
它的维数是多少？它依赖于三个自由参数：(a, Dx, Dy)，因此其维数为三。我们可以写作：
gSE(a, Dx, Dy)
子群：
对我们而言，群是一组方阵。在这组中，我们可以找到一些子集。
gSE(0, Dx, Dy) 是平移子群。
gSE(a, 0, 0) 是绕原点 0 的旋转子群。
gSE(0, Dx, 0) 是平行于 OX 轴的平移子群。
上述群作用于点。这些点没有特殊特征，它们只是……点，仅此而已。
……但稍后，描述物理世界的其他群将携带具有不同特征（“属性”）的点：质量、能量、动量、自旋等。
在上述群中，只有点的集合才值得被搬运。这时就出现了基本概念：
种类。
……我们的第一个群搬运几何对象，即点的集合，几何图形（“刚体”）。最简单的集合由两个点组成。考虑二维空间中的点对：
(35-3)
……在图 (35-3) 中，画出了两组点对 (A, B) 和 (A', B')。我可以找到群中的一个元素，将 (A, B) 变为 (A', B')：通过绕点 O 旋转并结合平移实现。参见图 (35-4)。
(35-4)
现在考虑两组点对：
(35-5)
无法找到群 G 中的任何元素 g（方阵），能将 (A, B) 映射到 (A", B")。我将说：
(A, B) 和 (A', B') 属于同一类。
(A, B) 和 (A", B") 属于不同类。
点对种类的特征称为长度。
这就是群论中对“长度”的定义。
……你如何断定两个线段长度相等？因为你可以将它们进行比较，使一个叠在另一个上。
……在我们的群中，长度不同的两条线段属于不同种类，因为我们的群不允许伸缩或压缩（相似变换）。负责处理此类变换的群是另一个群（“特殊笛卡尔群”）：
(35-6)
相对于这个群，所有点对都属于同一类。该群的维数为四。
除了两个点，我们也可以考虑三个或四个点，这些点可构成正方形等图形。
(36)
……相对于群 (35-1)，边长相等的正方形属于同一类。但如果两个正方形的边长本质不同：
(37)
它们就属于不同种类。
这个群控制二维平移和固定平面内绕定点的旋转，即特殊欧几里得群：SE(2)。
现在我们可以很容易地想象一个类似群作用于三维空间。三维和平面中的平移群已在 (32) 和 (33) 给出。
我们也可以轻松设想一个描述 n 维空间中平移的群。但旋转又如何处理呢？
……我们可以想象三维空间中的旋转。甚至可以用包含三个角度（欧拉角）的矩阵来表示它：因此其维数为三。
