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正交矩阵。正交群。
考虑一个方阵a。转置矩阵对应于相对于对角线对称项的交换，如图所示：
(38)
我们记矩阵的逆为a-1
它满足关系式：
a × a-1 = 1
从现在起，我们不再使用符号×，直接写成：a a-1 = 1。当两个粗体字母并排时，我们自动认为它们是两个矩阵的乘积。
正交矩阵是指其逆矩阵等于其转置矩阵的矩阵。
(38b)
可以证明：
(38c)
因此，正交矩阵的行列式为±1。
它们是任意阶数(n,n)的正交矩阵。它们构成了一个群
O(n) O(n)是所有(n,n)正交矩阵的集合。
考虑矩阵：
(39)
它们是正交矩阵，其行列式为：
det (g) = +1
它是正交群O(2)的一个子群，称为“特殊正交群”SO(2)。
我们有正交群O(3)，由(3,3)的正交矩阵组成，其行列式=±1。它有一个子群SO(3)，由行列式为+1的正交矩阵组成。
在四维空间中：我们有正交群O(4)及其子群：特殊正交群SO(4)。
n维空间：正交群O(n)，由(n,n)的正交矩阵组成，其行列式为±1。它有一个子群，称为特殊正交群SO(n)，仅限于行列式为+1的正交矩阵。
可以证明正交群的维数为(40)
应用于二维空间：群的维数为1。
应用于三维空间：群的维数为3（三个欧拉角）。
应用于四维空间：维数变为6。
我们引入了定向的特殊欧几里得群SE(2)：
(41)
它结合了旋转和位移。
记：
(42)
那么我们可以写出矩阵及其在空间上的作用：
(43)
注：
(44)
在我们二维的平直空间中，在我们的平面上，我们找到像：
(45)
考虑到这些特殊的物体：
(46)
它们属于同一类。如果我取其中任意一对物体，我可以找到一个群元素，将第一个映射到第二个，反之亦然。
第二组物体：
(47)
属于另一类。
第三组也是如此：
(48)
但是：
(49)
我无法找到任何旋转加位移c的组合，使一个物体转换到另一个物体。
我们能否修改定向欧几里得群，使得这种转换成为可能？