a4105
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对称性。
(49b)
这是什么意思？
考虑一个由四个元素组成的群（一个“离散群”）。
(50)
我可以写成：
(51)
相应的操作是：
(52)
显然，它可以反转x坐标、y坐标，或者两者都反转。
图解如下：
(53)
(54)
(55)
(56)
我们现在可以构造矩阵：
(57)
我们可以验证这些矩阵构成一个群。
它们的行列式为：
(58)
det ( a ) = l m ( cos 2 a + sin 2 a ) = l m = ±1
验证矩阵的逆为：
(59)
(60)
(61) 因此：
(62)
从而：
(63)
...SO(2)（称为特殊正交群）是O(2)（称为正交群）的一个子群，我们可以通过以下方式从矩阵 a 构造矩阵 a：
(64)
顺便说一句，许多矩阵是冗余的。例如，如果
(64b)
(65)
这意味着改变（x ---> -；y ---> -y）等同于旋转p。参见下图。
(66)
我们知道矩阵：
(67)
对应于绕坐标原点O的简单旋转。
更一般的矩阵：
(68)
的含义是什么？
从：
(69)
我们知道a对应于两种组合操作：
- 关于OX轴、OY轴或两者对称。
- 绕坐标原点旋转a。
(70)
图中显示了这两个操作的顺序
( M1 ----> M4 )
显然，这等同于关于通过O的直线的对称。
(71)
...我们丰富了最初的“特殊正交群”SO(2)，它后来发展成了“正交群”O(2)。我们发现这个扩展的群包含镜像对称：所有关于坐标原点O的直线的对称。
(72)
