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我们试图进行分类。分类是基于对物种的定义。
属于同一物种的两个物体具有共同的性质。
1）取一个球体，一个特定的球体。
2）观察保持这个球体不变的大组（欧几里得群）的子群。Souriau称这个子群为球体的“规则”。
3）寻找通过该子群作用保持不变的所有物体。你会发现所有以给定点为中心的球体，包括半径为零的球体：即点。
因此，点属于“以原点为中心的球体”这一物种。
反过来：
1）取三维空间中的一个点。
2）观察保持该点不变的欧几里得群的子群。你会发现正交群O(3)。
3）然后寻找在围绕该点旋转时，通过该子群元素作用保持不变的所有物体。你会发现所有以该点为中心的球体，并得出结论：该点和所有这些球体属于同一物种。
像直线、平面、圆柱体等物体可以“构建”为与某个特定子群相关的物种。
...在物理学中，我们想要对基本粒子进行分类。但你不能把一个粒子夹在拇指和食指之间，用放大镜观察它。你只能观察它的行为，它的运动。
告诉我你是如何移动的，我就能告诉你你是谁。
...我有一个老朋友让-路易·菲洛切，他是个出色的国际象棋选手。他可以盲棋（法语中称为“盲棋”，即不看棋盘下棋）。你只需告诉他棋子的移动：
b1-c3
对于非棋手：
（90）马的走法
...让-路易能够将这些信息全部记在脑海中。我不知道他是怎么做到的，但确实有效。这证明下棋并不需要棋子（电脑也不需要）。
...想象你在一个房间里，听到两个邻居在玩“某种游戏”。你看不到他们，但你能听到他们宣布自己的走法。
b2-b3 b7-b5 依此类推...
...你心想：他们在移动某些东西。这是什么游戏？你拿一张棋盘，放上小石头，然后在纸上记录他们的每一步。设C为列索引，L为行索引。一步棋对应：
（DC，DL）
如果 |DC| ≤ 1 且 |DL| ≤ 1：这对应国王的走法。
如果 |DC| = |DL|：这对应主教的走法（沿对角线）。
如果 |DC| × |DL| = 0：这对应车的走法。
如果 |DC × DL| = 3：这对应马的走法。
如果 DL 严格为正：这对应白方的兵。如果 DL 严格为负：这对应黑方的兵。
依此类推。我们根据物体的行为来对“物体”进行分类。
另一个例子。你有一个装有混杂螺栓的盒子。你想对这些螺栓进行分类。你需要什么？不同的螺母。
（91）
1）取一个螺栓。
2）找到与之匹配的螺母。
3）选出所有能与该螺母匹配的螺栓。你得到一个螺栓的物种。
正交群 O(3)。
...我们可以将上述在二维情况下的内容扩展到三维情况。我们知道如何在三维空间中围绕一个固定点（坐标原点）进行旋转。它依赖于三个角度a、b、g，称为欧拉角。我们不会写出这样的矩阵，只简单地表示为：
（92）
det（a）= +1
这是一个正交矩阵：
（92b）
...正交群O(3)由所有正交矩阵组成，包括那些行列式等于-1的矩阵。我们称这些矩阵为（93）
如前一节所述，我们可以通过以下方式从SO(3)得到所有正交矩阵：
（94）
L 是对角矩阵：
（95）
（96）
这一切都是冗余的。但它立即显示出基本的对称性。
（97）
（98）
（98b）
（99）
存在“镜像矩阵”，它们反转物体的方向，将这些物体转换为它们在镜子中的影像：
（100）
举一个被这种镜像对称反转方向的有向物体的例子：
（101）
...这是由希尔伯特的学生维尔纳·博伊发明的曲面。在网站的数学部分将特别关注这个有趣的物体。我们移除了曲面的一部分，以显示三重点T。
...你可以称这些物体为“右”或“左”。没有人曾经指出博伊曲面的“右”旋转动作是什么。无论如何：为什么让博伊曲面旋转？有些人声称它能飞，但我持怀疑态度。
接下来：
（102）
（103）
（104）
...如同二维几何（关于原点的对称性），关于x轴的对称性等同于旋转π。最后：
（105）
它改变了物体的方向。