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关于群的组成部分。
O(2) 是一个由两个部分组成的群：
- 其中性部分（包含单位元 1 的子群 SO(2)）。
- 其余元素。
若从 O(2) 构造一个二维欧几里得群：
(112)
该群具有两个组成部分。其单位部分由 SO(2) 的元素构成。
(113)
...
我们称其为特殊欧几里得群：使用这个群无法反转“字母”（如 R）的方向。具有两个组成部分的欧几里得群称为完整群。
... 相对于特殊群（完整欧几里得群的子群）：
(114)
属于两种不同的种类，因为无法找到该群 GSE（或 SE(2)）中的任何元素 gEO，能将第一个字母变为第二个字母，反之亦然。
... 相对于完整群，这两个字母属于同一类，因为存在群 GE 中的一个元素 gE（对称操作，属于第二部分），可以将其中一个字母变为另一个。
类似地，三维欧几里得群（即“完整”欧几里得群）：
(115)
也具有两个组成部分。第一部分，即中性部分，是由 SO(3) 的元素构成的子群：
(116)
... 我们称这一中性部分为特殊欧几里得群 SE(2)。相对于这个群，右手和左手属于不同种类，因为 GSE 中没有任何元素 gSE 能将左手变为右手，反之亦然。
但相对于完整群，它们属于同一类。
简短说明：
当一个人照镜子时，会发现自己的左手和右手互换了位置。但为什么头和脚没有互换呢？
这个问题的答案由法国数学家 J.M. Souriau 提供：
(116b)
另一个更技术性的说明：从定向欧几里得群出发，可以通过引入一个标量 l = ±1 构造出完整欧几里得群。
(116c)
其中 l = -1 的元素属于第二部分，起到“反转空间”的作用，将物体变为其对映体。
推广到四维 PT 群。
从特殊正交群出发：
(118)
然后通过 (4,4) 矩阵构造 PT 群：
(119)
这是一个具有四个组成部分的群（l = ±1；m = ±1）。
该群通过如下作用作用于时空：
(120)
注意到我们也可以将其写成：
(121)
但这并不改变本质，因为基本作用未变。
在四个组成部分中，我们有中性部分，即“空间与时间均定向的群”。
(122)
我们有：
(123)
注意到：
(124)
gSOTO 也是一个正交矩阵。正交矩阵正是通过这一公理性质定义的。
... 注意我们将广泛使用特殊矩阵的公理性质，远多于直接使用矩阵本身。对于 SO(2) 群，我们曾明确写出矩阵形式。但对于 SO(3) 和 O(3)，我们不会这样做，因为这既无必要，又会使计算变得不必要地复杂。更高效且优雅的做法是利用群中矩阵的公理性质。
预先考虑如下定义的矩阵：
(125)
其中：
(126)
以对角矩阵形式表示：
(127)
此外：
(128)
证明这些矩阵构成一个群。
考虑：
(129)
并构造：
(130)
则这些“广义洛伦兹矩阵”的乘积满足群的公理。
证明逆矩阵也属于该群：
(131)
计算逆矩阵。
(132) (132b)
对应于特殊情况：
(132c)
... 该矩阵的形式与时空度量一致（我们将在后文通过洛伦兹矩阵再次看到这一点，进入相对论世界）。
(133)
其中为时空向量。
联系对应于基本二次型：
(134)
其中：
(134b)
由此得到：
(135) ds² = dx°² + dx² + dy² + dz²
x° = ct 为“时间变量”。
这对应于一个欧几里得时空，其中速度：
(136)
是无限制的。
