一个庞加莱群 Gp 的元素 gp 由一组参数 {pi} 定义，其中，我们已经说过，其数量代表了 群的维数 。矩阵 d**g (g = e) **由 {dpi} 构成。因此，上面的映射是以下形式：
(81)
换句话说，一组标量 dpi 对应着相同数量的标量 dpi'。对偶性是根据以下内容来假设一个标量的不变性：
(82)
n 是群的维数（庞加莱群为十）。标量 Ji 表示动量的分量，数量相同。
我们将决定将这个动量 **J **分解为两个对象。第一个是一个 (4,4) 的反对称矩阵 M ，因此有六个分量，第二个是一个“四维矢量” P ，是一个 (4,1) 的矩阵：
(83)
(84) **J **= { M , p , E} = { M , P } 我们将点积写成以下形式：
(85)
Tr 表示“迹”，我们还有：
(86)
线性形式的不变性保证了对偶性。
其中：
(87) (87b)
(87c)
但是 GG = 1 ，所以这等于：
(88)
识别 y 的项 (89)
即：
(90)
----> 这里又是一些矩阵计算的细节。如果您愿意，点击这里您可以直接跳转到结果
在迹中可以对项进行循环置换。
(90a)
(90b)
(90c)
右边的第二项等于一个行矩阵与一个列矩阵的乘积。
这等于乘积的逆迹（如下，示意性地，一个行矩阵与一个列矩阵的乘积）：
(90d)
在这一迹中，我可以进行循环置换：
(90e)
因此：
(90f)
(90g)
在这里，我们将再次应用关于矩阵的迹的定理，这些矩阵是另一个矩阵与一个对称矩阵的乘积。
任何矩阵都可以对称化或反对称化。此外，一个矩阵与一个对称矩阵的乘积的迹为零。
(90h)
我可以将此应用于矩阵 (90i) ，因为我们取迹
(90j)
(90k) = sym ( ) + antisym ( )
但是：
(90l)
因此
(90m) (90n)
(90o)
(90p)
并且：
(90q)
最后：
(90r)
通过合并并改变撇号的位置，我得到了我的群作用：
图像
