f4504 通过群在其动量空间上的共轭作用对物质和反物质进行几何化。4：双群。狄拉克反物质的几何描述。费曼之后及CPT定理的反物质几何解释。（p4）
关于度规的一些评论。
群的所有元素都是由满足以下条件的完整洛伦兹群元素构建的：
(7) (4507)
其中：
(8) (4508)
最后一矩阵与度规有关：
(9) (4509)
因此，两个折叠具有相同的符号。如果它们被描述为闵可夫斯基时空，它们的度规是相同的。但它们的时间箭头是相反的。
如果想要描述这两个折叠、这两个宇宙，就必须选择自己的时间箭头和空间方向。
显然，物质-反物质的二元性出现在两个折叠中。如果我们将第二个折叠称为“双折叠”（A. Sakharov）或“影子折叠”（Green, Schwarz 和 Salam）或“幽灵折叠”（作者的选择），那么在第二个折叠中时间箭头是相反的（T对称性），正如A. Sakharov所预测的，空间结构是镜像对称的（P对称性）。
在第二个折叠中，物质相对于我们的是CPT对称的。因此，在这个折叠中，质子具有负电荷，电子具有正电荷。
反过来，这个折叠中的反电子，相对于我们是PT对称的，具有负电荷，因此第二个折叠中的反质子具有正电荷。
总之，第二个折叠相对于我们是CPT对称的。正如安德烈·萨哈罗夫所建议的，我们有可能期望在该折叠中宇称原理的破坏被逆转。
如果在我们的折叠中缺乏反物质是宇称原理破坏的直接结果，那么这种不对称性可能在另一个折叠中被逆转。
相互作用的折叠。
我们所有的天体物理学和宇宙学工作（参见《几何物理A》）都源于两个耦合场方程的系统：
(10) **S *= c ( T - T )
(11) *S *** = c ( T - T )
两个负号是作为先验假设引入的。在基于群论的这项工作的结尾，解释浮现出来。两个折叠必须具有相反的时间箭头，并且必须是镜像对称的，以满足来自群结构的约束。
因此，位于另一个折叠中的物质，对于位于第一个折叠中的观察者来说，表现得好像它具有负质量，这源于共轭作用和T对称性。
结论。
从参考文献[3]的工作出发，我们修改了模型，以避免正质量和负质量粒子之间的相遇。解决方案是将一个由群与其正时子群的商构成的两个十维折叠（F, F*）构建出来。
然后我们得到两个具有相反时间箭头的空间。
我们研究了群的不同组成部分对动量和运动空间的影响。证明了物质-反物质的二元性在两个折叠、两个宇宙中都出现。
这项工作通过几何工具为反物质提供了新的视角。
例如，狄拉克的反物质是我们的折叠中的反物质。
第二个折叠中的物质相对于我们是CPT对称的。
属于我们折叠中物质粒子的PT对称体是另一个折叠中的反物质。
我们宇宙中的物质和反物质粒子具有正质量与正能量。
第二个折叠中的物质和反物质粒子具有负质量与负能量。
**附录 **：
群的扩展。
考虑一个由矩阵组成的群：
(1) (4513)
A 是一个方阵。B 是一个列矩阵，O 是一个由零项组成的行矩阵。
考虑扩展：
(2) (4514)
其中 J 是以下行子矩阵：
(3) (4515)
J 是一个标量。
验证 (2) 是一个群：
(4) (4516)
(5) (4517)
(6) (4518)
然后：
(7) (4519)
逆矩阵是：
(8) (4520)
李代数的元素是：
(9) (4521)
计算 g₃⁻¹ 对李代数元素 dg₃ 的作用：
(10) (4522)
(11) (4523)
g 是一个矩阵：
(12) (4524)
因此：
(13) (4525)
识别：
(14) (4526)
得到：
(15) (4527)
(16) (4528)