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对称性。
(49b)
这意味着什么？
考虑一个由四个元素组成的群（一个“离散群”）。
(50)
我可以将其写成：
(51)
相应的变换为：
(52)
显然，它能够反转x坐标、y坐标，或同时反转两者。
示意如下：
(53)
(54)
(55)
(56)
现在我们可以构造矩阵：
(57)
我们可以验证这一组矩阵确实构成一个群。
它们的行列式为：
(58)
det (
a
) = l m (cos² a + sin² a) = l m = ±1
验证其逆矩阵为：
(59)
(60)
(61)
因此：
(62)
从而得到：
(63)
SO(2)（称为特殊正交群）是O(2)（称为正交群）的一个子群，我们可以通过以下方式从矩阵
a
构造出矩阵
a
：
(64)
顺便说一句，其中许多是冗余的。例如，如果
(64b)
(65)
这意味着将 (x → -x；y → -y) 的变换等价于旋转角度 p。见下图。
(66)
我们知道矩阵：
(67)
对应于绕坐标原点O的简单旋转。
更一般的矩阵：
(68)
又意味着什么？
由：
(69)
可知，矩阵
a
对应于两个组合操作：
-
关于OX轴、OY轴或两者同时的对称操作。
-
绕坐标原点O的旋转角度a。
(70)
图中显示了这两个操作的先后顺序：
(M1 → M4)
显然，这一过程等价于关于一条通过原点O的直线的对称。
(71)
我们已经将原本来自正交群O(2)的“特殊正交群”SO(2)进行了扩展。由此发现，这个扩展后的群包含了镜面对称：即所有关于通过坐标原点O的直线的对称操作。
(72)
索引 动力学群论