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群的组成部分。
我们考虑了两个群：SO(2) 和 O(2)。第二个群包含了第一个群。
第一个群包含单位元。我们可以将群的元素表示如下：
(73)
。
第一部分的元素构成一个群（子群）。
第二部分的元素不构成群，原因有多个：
-
它不包含单位元 1。
-
我们可以选取该第二部分中的两个矩阵，其乘积不属于该第二部分。例如：
(74)
包含单位元 1 的群的组成部分被称为
群的中性部分。
在接下来的内容中，我们将考虑具有 2、4、8 个组成部分的群。
欧几里得群。
现在我们可以将这个扩展且丰富的群与二维平移相结合，得到：
(75)
以及该欧几里得群对应的变换作用：
(76)
假设我们用这个群来操作、控制、研究字母表中的字母。
将集合限制为：
A B C D E F G J K L N P Q R S Z
我们有多种尺寸：
(77)
A B C D E F G J K L N P Q R S Z
A B C D E F G J K L N P Q R S Z
A B C D E F G J K L N P Q R S Z
我们知道，无法找到群中的任何元素，也无法通过群的后续作用，将：
G 变为 G
因为它们的尺寸不同。我们决定将这些尺寸称为
质量
，使得 G 和 G 类似于具有不同质量的粒子、物体或原子。
现在，这取决于作用于该对象集合上的群。如果我使用：
(78)
假设这个“世界”充满了：
(79)
具有某种尺寸（质量）和角度的光谱。无论我进行何种群的作用，我都无法找到属于俄语字母表的字符：
(80)
但如果我采用扩展后的群——欧几里得群，则情况将发生变化：
(80b)
那么我的“世界”将变成：
(81)
群丰富了字母的“动物园”。但在我的动物园中，有一个字母在对称变换下保持不变，即：
(82)
(83)
(84)
(85)
通常来说，相对于平面内任意直线的对称性，即“二维镜面”，不会改变该字符的“本质”：
(86)
我将这个字符称为“光子”，并将变换
(87)
等同于物质与反物质的对偶性。于是，我得到了一个整体的“动物园”：
(88)
我们可以通过笛卡尔群将形状相同（本质相同）但尺寸不同（代表其能量）的字母联系起来：
(89)
但我们不会基于字母字符构建一个完整的、类比基本粒子的模型。不过，你已经开始意识到我们的方向了。群看似简单，却蕴含着隐藏的性质。这些性质取决于其子群，而子群正是
物种
的来源。
欧几里得群伴随着一个欧几里得世界，一个欧几里得动物园。欧几里得几何中的“动物”被称为球体、圆柱体、棱柱、平面、直线、三角形等。它们在某个子群的作用下保持不变。苏里欧将与某一物种中对象相关的子群称为该对象的
规则性。
例如，以某一点 O 为中心的球体，在绕该点的旋转子群作用下保持不变。
-
我们可以认为
保持不变这一性质，是“以点 O 为中心的球体”这一物种的特征。 -
反之，我们也可以认为
这一性质
定义了
该物种。
索引 动态群论