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关于群的组成部分。
O(2) 是一个由两个组成部分组成的群：
-
其中性部分
（一个包含单位元 1 的子群 SO(2)）。 -
其余元素。
如果从 O(2) 构造一个二维欧几里得群：
(112)
这个群有两个组成部分。其中性部分由 SO(2) 的元素构成。
(113)
我们称其为
特殊
欧几里得群：用这个群无法翻转一个“字母”的方向，比如 R。
具有两个组成部分的欧几里得群称为
完整群
。
相对于特殊群（欧几里得完整群的子群）：
(114)
属于两种不同的种类，因为无法找到该群 GSE（或 SE(2)）中的元素 gEO，能够将第一个字母转换为第二个字母，反之亦然。
相对于完整群，这两个字母属于同一种类，因为存在该群 G E 中的一个元素 gE（对称性，属于第二部分），能够将这两个字母中的一个转换为另一个。
同样，三维欧几里得群（“完整”欧几里得群）：
(115)
有两个组成部分。第一部分，即
中性部分
，是由 SO(3) 的元素组成的子群：
(116)
我们称这个中性部分为特殊欧几里得群 SE(3)。相对于这个群，右手和左手属于不同的种类，因为该群 GSE 中没有元素 gSE 能够将左手转换为右手，反之亦然。
相对于完整群，它们属于同一种类。
简短说明：
当一个人在镜子中看到自己的影像时，他会发现自己的左手和右手被交换了。但为什么他的头和脚没有被交换呢？
这个问题的答案由法国数学家 J.M. Souriau 给出：
(116b)
另一个更技术性的说明。从定向欧几里得群出发，可以利用标量 l = ±1 构造出完整欧几里得群：
(116c)
其中 l = -1 的元素属于第二部分，并“反转空间”，将物体转换为其对映体。
扩展到四维 PT 群。
从特殊正交群出发：
(118)
然后通过 (4,4) 矩阵构造 PT 群：
(119)
这是一个由四个部分组成的群（l = ±1；m = ±1）。
该群通过以下作用作用于时空：
(120)
请注意，我们也可以写成：
(121)
但这不会有任何改变，因为基本作用没有变化。
在这四个部分中，我们有中性部分，即（空间定向，时间定向的群）。
(122)
我们有：
(123)
请注意：
(124)
gSOTO 也是一个正交矩阵。正交矩阵是通过这一公理性质定义的。
请注意，我们将广泛使用特殊矩阵的公理性质，而不是矩阵本身。对于 SO(2) 群，我们明确地写出了矩阵。但对于 SO(3) 和 O(3)，我们不会这样做，因为没有必要，而且会使计算变得复杂。使用群矩阵的公理性质更有效且优雅。
提前考虑以下矩阵：
(125)
其中：
(126)
以对角矩阵形式：
(127)
此外：
(128)
证明这些矩阵构成一个群。
考虑：
(129)
并构造：
(130)
那么这种广义洛伦兹矩阵的乘积满足公理。
证明逆矩阵属于该群：
(131)
计算逆矩阵。
(132)
(132b)
对应于特殊情况：
(132c)
该矩阵的形式对应于时空度量（如我们将在后面再次看到的洛伦兹矩阵，涉及相对论世界）。
(133)
是一个时空向量
该关系对应于基本二次型：
(134)
其中：
(134b)
这给出：
(135)
ds² = dx⁰² + dx² + dy² + dz²
x⁰ = ct 是一个“时间变量”。
这对应于一个欧几里得时空，其中速度：
(136)
是无限制的。
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