通过群在其动量空间上的伴随作用对物质和反物质进行几何化。4：
双胞胎群。狄拉克反物质的几何描述。
费曼之后的反物质几何解释和所谓的CPT定理。(p4)
关于度量的一些注释。
群的所有元素都是由完整洛伦兹群的元素构建的，这些元素服从：
(7)
(4507)
其中
(8)
(4508)
最后一矩阵与度量有关：
(9)
(4509)
因此，两个折叠具有相同的符号。如果它们被描述为闵可夫斯基时空，它们的度量是相同的。但它们的时间箭头是相反的。
如果要描述两个折叠，两个宇宙，就必须选择自己的时间箭头和空间方向。
显然，物质-反物质的二元性在两个折叠中都发生。如果我们称第二个折叠为“双胞胎折叠”（A.萨哈罗夫）或“影子折叠”（格林、施瓦茨和萨拉姆）或“幽灵折叠”（作者的选择），那么在第二个折叠中的时间箭头是相反的（T对称性），正如A.萨哈罗夫所预测的，空间结构是镜像对称的（P对称性）。
在第二个折叠中，物质相对于我们是CPT对称的。因此，在该折叠中，质子具有负电荷，电子具有正电荷。
相反，该折叠中的反电子，相对于我们是PT对称的，具有负电荷，因此第二个折叠中的反质子具有正电荷。
总之，第二个折叠相对于我们是CPT对称的。正如安德烈·萨哈罗夫所建议的，我们可以预期，宇称原理的破坏可能在该折叠中被逆转。
如果在我们的折叠中缺乏反物质是宇称原理破坏的直接结果，那么这种不对称性可能在另一个折叠中被逆转。
相互作用的折叠。
我们在天体物理学和宇宙学（参见《几何物理A》）的所有工作都源于两个耦合场方程的系统：
(10)
S = c ( T - T
- )
(11)
S* =
c ( T
T )
两个负号作为先验假设引入。在基于群论的这项工作的最后，解释浮现出来。两个折叠
必须
具有相反的时间箭头，并且
必须
是镜像对称的，以满足来自群结构的约束。
因此，位于另一个折叠中的其他物质，对于位于第一个折叠中的观察者来说，似乎具有负质量，这来自于伴随作用和T对称性。
结论。
从参考文献[3]的工作出发，我们修改了模型，以避免正质量和负质量粒子的相遇。解决方案是将群除以其正时子群，构建两个十维折叠（F，F*）。
然后我们得到两个具有相反时间箭头的空间。
我们研究了群的不同组成部分对动量和运动空间的影响。证明了物质-反物质的二元性在两个折叠、两个宇宙中都发生。
这项工作通过几何工具为反物质提供了新的视角。
例如，狄拉克的反物质就是我们自身折叠的反物质。
第二个折叠中的物质相对于我们是CPT对称的。
属于我们折叠的物质粒子的PT对称性是另一个折叠的反物质。
我们宇宙中的物质和反物质粒子具有正质量与正能量。
第二个折叠中的物质和反物质粒子具有负质量与负能量。
附录：
群的扩展。
考虑一个由矩阵组成的群：
(1)
(4513)
A是一个方阵。
B是一个列矩阵，O是一个由零项组成的行矩阵。
考虑扩展：
(2)
(4514)
其中
J是以下行子矩阵：
(3)
(4515)
J是一个标量。
验证（2）是一个群：
(4)
(4516)
(5)
(4517)
(6)
(4518)
然后：
(7)
(4519)
逆矩阵是：
(8)
(4520)
李代数的元素是：
(9)
(4521)
计算g 3-1对李代数元素d g 3的作用：
(10)
(4522)
(11)
(4523)
g是一个矩阵：
(12)
(4524)
因此：
(13)
(4525)
识别：
(14)
(4526)
得到：
(15)
(4527)
(16)
(4528)
