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Translationsgruppe:
Betrachten wir einen zweidimensionalen Raum (x,y). In einem solchen Raum wird eine Translation durch einen Verschiebungsvektor (Dx, Dy) definiert. Üblicherweise schreibt man:
(27) x' = x + Dx
y' = y + Dy
Um die neuen Werte x' und y' zu erhalten, verwenden wir die Addition. Könnten wir die gleichen Ergebnisse auch durch eine .....Multiplikation erreichen?
Betrachten wir die folgenden Matrizen:
(28)
Man erkennt, dass sie durch zwei unabhängige Parameter Dx und Dy definiert sind. Die Dimension der Gruppe ist daher 2.
Form:
(29)
Man erkennt, dass dies grundlegend von der einfachen Matrixmultiplikation
(30) g × r
abweicht. Es handelt sich um eine besondere Wirkung der Gruppe.
(31)
Darüber hinaus können wir Translationen in dreidimensionalen oder vierdimensionalen Räumen betrachten. Die entsprechenden quadratischen Matrizen, die Gruppen bilden, sind:
(32)
(33)
Die entsprechende Wirkung ist:
(34)
Die Gruppe der Translationen ist kommutativ. Ihr neutrales Element ist die Null-Translation.
Matrixgruppen: Warum?
...Mit Matrixgruppen können wir mehrere Operationen in eine einzige, in eine einzige Wirkung zusammenfassen. Betrachten wir folgende Matrizen und die folgende Wirkung:
(35-1)
...Wir kombinieren zwei Dinge: eine Drehung (Winkel a) sowie eine Translation (Dx, Dy).
Das Element g der Gruppe G wirkt auf den Raum r = (x,y), nicht „direkt“, sondern über eine verfeinerte „Wirkung“. Diese Gruppe
(35-2)
heißt „spezielle euklidische Gruppe SE(2)“ und wirkt auf den zweidimensionalen Raum. Der Name wird später erklärt werden.
Wie groß ist ihre Dimension? Sie hängt von drei freien Parametern ab: (a, Dx, Dy), daher ist ihre Dimension drei. Wir können sie schreiben als:
gSE(a, Dx, Dy)
Untergruppen.
Für uns ist eine Gruppe eine Menge quadratischer Matrizen. Unter dieser Menge können wir Teilmenge finden.
gSE(0, Dx, Dy) ist die Untergruppe der Translationen. gSE(a, 0, 0) ist die Untergruppe der Drehungen um den Ursprung 0. gSE(0, Dx, 0) ist die Untergruppe der Translationen parallel zur Achse OX.
Die oben genannte Gruppe transportiert Punkte. Diese Punkte besitzen keine besonderen Eigenschaften. Sie sind... einfach nur Punkte, nichts weiter.
...Später werden jedoch andere Gruppen, die die physikalische Welt beschreiben, Punkte transportieren, die unterschiedliche Eigenschaften, „Eigenschaften“ haben: Masse, Energie, Impuls, Spin...
Mit der oben genannten Gruppe sind nur Mengen von Punkten interessant, die transportiert werden sollen. Hier taucht der grundlegende Begriff der:
Art auf.
...Unsere erste Gruppe transportiert geometrische Objekte, die Mengen von Punkten sind, geometrische Figuren ("starre" Körper). Die einfachste Menge besteht aus zwei Punkten. Betrachten wir Paare von Punkten in einem zweidimensionalen Raum:
(35-3)
...Auf der Abbildung (35-3) wurden zwei Punktpaare (A,B) und (A',B') dargestellt. Ich kann ein Element der Gruppe finden, das (A,B) in (A',B') überführt: durch Kombination einer Drehung um den Punkt O und einer Translation. Siehe Abbildung (35-4).
(35-4)
Betrachten wir nun die beiden Paare:
(35-5)
Es ist unmöglich, ein Element g (quadratische Matrix) meiner Gruppe G zu finden, das (A,B) auf (A",B") überführt. Ich werde sagen:
(A,B) und (A',B') gehören zur selben Art.
(A,B) und (A",B") gehören zu unterschiedlichen Arten.
Die Eigenschaft einer Art von Punktpaaren heißt Länge.
Dies ist die Definition der Länge in der Sprache der Gruppentheorie.
...Wie können Sie behaupten, dass zwei Strecken die gleiche Länge haben? Weil Sie sie vergleichen können, indem Sie eine auf die andere legen.
...In unserer Gruppe gehören zwei Strecken mit unterschiedlicher Länge zu unterschiedlichen Arten, da unsere Gruppe keine Dehnungen oder Stauchungen zulässt (homothetische Transformationen). Die Gruppe, die dies regelt, ist eine andere Gruppe ("spezielle kartesische Gruppe"):
(35-6)
In Bezug auf diese Gruppe bilden alle Punktpaare dieselbe Art. Die Dimension dieser Gruppe ist vier.
Anstelle von zwei Punkten könnten wir drei oder vier Punkte betrachten, die beispielsweise Quadrate bilden.
(36)
...In Bezug auf die Gruppe (35-1) gehören Quadrate, deren Seiten die gleiche Länge haben, zur selben Art. Aber wenn die Seiten zweier Quadrate grundsätzlich verschieden sind:
(37)
sie gehören zu unterschiedlichen Arten.
Diese Gruppe, die 2D-Translationen und Drehungen um einen festen Punkt in einer Ebene regelt, ist die spezielle euklidische Gruppe: SE(2).
Jetzt können wir leicht eine ähnliche Gruppe vorstellen, die auf einem dreidimensionalen Raum wirkt. Die Gruppen der 3D- und 4D-Translationen wurden in (32) und (33) angegeben.
Wir können uns leicht eine Gruppe vorstellen, die Translationen in einem n-dimensionalen Raum beschreibt. Aber was ist mit Drehungen?
...Wir können uns eine Drehung im dreidimensionalen Raum vorstellen. Wir können sie sogar mit einer Matrix schreiben, die drei Winkel enthält, die Euler-Winkel: ihre Dimension ist daher drei.
Index Dynamische Gruppentheorie
Originalversion (englisch)
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Group of translations :
Consider 2d space (x,y). In such space a translation is defined by translation vector ( Dx,Dy). We use to write :
(27) x' = x + Dx y' = y + Dy
To get the new values x' and y' we use addition . Could we get the same results through a ..... multiplication ?
Consider the following matrixes :
(28)
Notice they are defined by two independent parameters Dx and Dy. Then the dimension of the group is 2.
Form :
(29)
Notice this is basically different from the simple matricial multiplication
(30) g x r
It is a peculiar group's action.
(31)
By the way, notice we can consider translations in 3d or 4d spaces. The corresponding square matrixes, forming groups, are
(32)
(33)
The corresponding action is :
(34)
The group of translations is commutative. Its neutral element is the null-translation.
Groups of matrixes : why ?
...With matrixes' groups we can combine several operations into a single one, into a single action. Consider the following matrixes and the following action :
(35-1)
...We combine two things : a rotation ( angle a ), plus a translation (Dx,Dy).
The element g of the group G acts on space r = (x,y), not "directly" but through some more refined "action". This group
(35-2)
called "Special Euclid's group SE(2) ", acts on 2d space. This name will be explained further.
What is its dimension ? It depends on three free parameter : (a , Dx , Dy), so that its dimension is three. We may write :
gSE (a, Dx ,Dy)
Sub-groups.
For us, a group is a set of square matrixes. Among this set we can find sub-sets.
gSE (0, Dx, Dy) is the sub-group of translations. gSE (a, 0, 0) is the sub-group of rotations around the origin 0 . gSE (0, Dx, 0) is the sub-group of translation parallel to the axis OX.
The above group carries points. These point own no peculiar characteristics. They are... points, nothing else.
...But, later, other groups, which describe physical world, will carry points which will have different characteristics, "attributes" : mass, energy, impulsion, spin....
With the above group only sets of points are interesting to carry. Here appears the fundamental concept of :
Species.
...Our first group carries geometrical objects, which are sets of points, geometrical ("rigid") figures. The most simple set is composed by two points. Consider couples of points in a 2d space :
(35-3)
...On figure (35-3) two couples of points (A,B) and (A',B') have been figured. I can find an element of the group that transforms (A,B) into (A',B') : combining a rotation around the point O and a translation. See figure (35-4).
(35-4)
Now consider the two couples :
(35-5)
Impossible to find any element g ( square matrix ) of my group G which can carry (A,B) on (A",B"). I will say that:
(A,B) and (A',B') belong to a same species.
(A,B) and (A",B") belong to different species.
The characteristic of a species of couples of points is called length .
This is the definition of length in terms of group theory.
...How can you affirm that two segments have the same length ? Because you can compare them, putting one onto the other one.
...In our group two segments, whose lengths, are different belong to different species, because our group does not rule dilatations or contractions ( homothetic transforms ). The group which takes that in charge is a different one ("Special Descartes' group" ):
(35-6)
with respect to such group all couples of points form the same species. The dimension of this group is four.
Instead two points, we could consider three or four, these last forming squares, for an example.
(36)
...With respect to the group (35-1), squares whose sides have the same length belong to the same species. But if the sides of two squares are basically different :
(37)
they belong to different species.
This group, ruling 2d translation and rotations around a fixed point of a plane is the Special Euclid's group : SE(2).
Now we imagine easily a similar group acting on a 3d space. The group of 3d and 4d translations were given in (32) , (33).
We can imagine easily a group describing translations in a n-dimensional space. But what about rotations ?
...We can imagine rotation in a 3d space. We can even write it with a matrix which contains three angles, the Euler angles : then its dimension is three.