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Orthogonale Matrizen. Orthogonale Gruppen.
Betrachten wir eine quadratische Matrix a. Die transponierte Matrix entspricht dem Austausch der symmetrischen Elemente bezüglich der Diagonale, wie in der Abbildung dargestellt:
(38)
Wir bezeichnen die inverse Matrix mit a-1.
Sie genügt der Beziehung:
a × a-1 = 1
Ab jetzt schreiben wir das Multiplikationszeichen × nicht mehr und schreiben einfach: a a-1 = 1. Wenn zwei fettgedruckte Buchstaben nebeneinander stehen, betrachten wir dies automatisch als das Produkt zweier Matrizen.
Eine orthogonale Matrix ist eine Matrix, deren Inverse mit ihrer Transponierten übereinstimmt.
(38b)
Man kann zeigen, dass:
(38c)
daraus folgt, dass die Determinante einer orthogonalen Matrix ± 1 beträgt.
Sie sind orthogonale Matrizen beliebigen Rangs (n,n). Sie bilden Gruppen
O(n) O(n) ist die Menge der orthogonalen Matrizen (n,n).
Betrachten wir die Matrizen:
(39)
Sie sind orthogonale Matrizen, deren Determinante ist:
det ( g) = +1
Es handelt sich um eine Untergruppe der orthogonalen Gruppe O(2), die als „spezielle orthogonale Gruppe“ SO(2) bezeichnet wird.
Wir haben eine orthogonale Gruppe O(3), bestehend aus (3,3)-orthogonalen Matrizen, deren Determinante = ± 1 ist. Sie besitzt eine Untergruppe SO(3), die aus orthogonalen Matrizen mit Determinante +1 besteht.
In vier Dimensionen: Wir haben die orthogonale Gruppe O(4) und ihre Untergruppe: die spezielle orthogonale Gruppe SO(4).
n Dimensionen: orthogonale Gruppe O(n), bestehend aus (n,n)-orthogonalen Matrizen, deren Determinante ± 1 beträgt. Sie besitzt eine Untergruppe, die als spezielle orthogonale Gruppe SO(n) bezeichnet wird und nur aus solchen orthogonalen Matrizen besteht, deren Determinante +1 ist.
Man kann zeigen, dass die Dimension einer orthogonalen Gruppe (40) beträgt.
Anwendung auf den zweidimensionalen Raum: Die Dimension der Gruppe ist 1.
Anwendung auf den dreidimensionalen Raum: Die Dimension der Gruppe ist drei (die drei Euler-Winkel).
Anwendung auf den vierdimensionalen Raum: Die Dimension wird sechs.
Wir haben die orientierte spezielle euklidische Gruppe SE(2) eingeführt:
(41)
Die Kombination von Drehungen und Translationen enthält.
Bezeichnen wir:
(42)
Dann können wir die Matrix und ihre Wirkung auf den Raum schreiben:
(43)
Bemerkung:
(44)
In unserem zweidimensionalen flachen Raum, in unserer Ebene, finden wir Objekte wie:
(45)
Betrachten wir diese besonderen Objekte:
(46)
Sie gehören einer Art an. Wenn ich irgendein Paar dieser Objekte nehme, kann ich ein Element der Gruppe finden, das das erste auf das zweite abbildet und umgekehrt.
Die zweite Teilmenge von Objekten:
(47)
gehört einer anderen Art an.
Auch die dritte:
(48)
Aber:
(49)
Ich kann keine Kombination aus Drehung a und Translation c finden, die eines auf das andere überführt.
Können wir die orientierte euklidische Gruppe so modifizieren, dass dies möglich wird?