a4105
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Symmetrien.
(49b)
Was bedeutet das?
Betrachten wir eine Gruppe, die aus vier Elementen besteht (eine „diskrete Gruppe“).
(50)
die ich schreiben kann als:
(51)
Die entsprechende Wirkung ist:
(52)
Es ist klar, dass sie die x-Koordinate, die y-Koordinate oder beide umkehren kann.
Schematisch:
(53)
(54)
(55)
(56)
Wir können nun die Matrix aufbauen:
(57)
Wir können überprüfen, dass diese Menge von Matrizen eine Gruppe bildet.
Ihre Determinante ist:
(58)
det (a) = l m (cos²α + sin²α) = l m = ±1
Überprüfen wir, ob die inverse Matrix ist:
(59)
(60)
(61) Damit gilt:
(62)
daraus folgt:
(63)
...SO(2) (genannt spezielle orthogonale Gruppe) ist eine Untergruppe von O(2) (genannt orthogonale Gruppe), und wir können die Matrizen a aus den Matrizen a durch folgende Beziehung bilden:
(64)
Übrigens sind viele dieser Matrizen überflüssig. Zum Beispiel, wenn
(64b)
(65)
was bedeutet, dass die Änderung (x → –x; y → –y) äquivalent einer Drehung um π ist. Siehe folgende Abbildung.
(66)
Wir wissen, dass die Matrizen:
(67)
einer einfachen Drehung um den Koordinatenursprung O entsprechen.
Was bedeutet die allgemeinere Matrix:
(68)
Aus:
(69)
wissen wir, dass a zwei kombinierte Operationen entspricht:
- Eine Spiegelung bezüglich der Achse OX oder OY oder beider.
- Eine Drehung um α um den Koordinatenursprung.
(70)
Auf der Abbildung ist die Reihenfolge der beiden Operationen dargestellt:
(M1 → M4)
Es ist klar, dass dies äquivalent einer Spiegelung bezüglich einer Geraden durch O ist.
(71)
...Wir haben die „spezielle orthogonale Gruppe“ SO(2) erweitert, die ursprünglich die „orthogonale Gruppe“ O(2) gebildet hat. Damit haben wir entdeckt, dass diese erweiterte Gruppe Spiegelungen enthält: alle Spiegelungen bezüglich Geraden, die durch den Koordinatenursprung O verlaufen.
(72)
Index Theorie der dynamischen Gruppen
Originalversion (englisch)
a4105
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Symmetries.
(49b)
What does it mean?
Consider a group composed by four elements (a "discrete group").
(50)
that I can write:
(51)
The corresponding action is:
(52)
Clearly it may reverse the x coordinate, the y coordinate, or the two.
Schematically:
(53)
(54)
(55)
(56)
Now we may build the matrix:
(57)
We can check such set of matrices form a group.
Their determinant is:
(58)
det (a) = l m (cos²α + sin²α) = l m = ±1
Check the inverse matrix is:
(59)
(60)
(61) So that:
(62)
whence:
(63)
...SO(2) (called special orthogonal group) is a sub-group of O(2) (called orthogonal group) and we may form the matrices a from the matrices a through:
(64)
By the way, many are redundant. For an example, if
(64b)
(65)
which means that changing (x → –x; y → –y) is equivalent to a rotation of π. See next figure.
(66)
We know that matrices:
(67)
correspond to a simple rotation around the center of coordinates O.
What is the meaning of more general matrices:
(68)
From:
(69)
we know that a corresponds to two combined operations:
- A symmetry with respect to axis OX, or OY, or both.
- A rotation α around the center of coordinates.
(70)
On the figure is shown the succession of the two operations
(M1 → M4)
It is clear that it is equivalent to a symmetry with respect to a straight line passing by O
(71)
...We have enriched the "special orthogonal group" SO(2) which began the "orthogonal group" O(2). Then we discover that this extended group contains mirror-symmetries: all the symmetries with respect to straight lines passing by the origin of coordinates O.
(72)