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Komponenten eines Gruppen.
Wir haben zwei Gruppen betrachtet: SO(2) und O(2). Die zweite enthält die erste.
Die erste enthält das neutrale Element. Wir können die Elemente der Gruppe wie folgt darstellen:
(73) .
Die Elemente der ersten Komponente bilden eine Gruppe (eine Untergruppe).
Die Elemente der zweiten Komponente bilden keine Gruppe, aus vielen Gründen:
- Sie enthält nicht das neutrale Element 1.
- Wir können zwei Matrizen in dieser zweiten Komponente wählen, deren Produkt nicht in dieser zweiten Komponente liegt. Beispiel:
(74)
Die Komponente der Gruppe, die das neutrale Element 1 enthält, wird als
neutrale Komponente der Gruppe bezeichnet.
Im Folgenden werden wir Gruppen mit 2, 4, 8 Komponenten betrachten.
Die Euklid-Gruppe.
Wir können nun diese erweiterte, angereicherte Gruppe mit der 2D-Translation integrieren und wir erhalten:
(75)
und die entsprechende Aktion dieser Euklid-Gruppe:
(76)
Angenommen, wir verwenden unsere Gruppe, um alphabetische Buchstaben zu manipulieren, zu regulieren und zu studieren.
Beschränken Sie die Menge auf: A B C D E F G J K L N P Q R S Z
Wir haben mehrere Größen:
(77) A B C D E F G J K L N P Q R S Z A B C D E F G J K L N P Q R S Z
A B C D E F G J K L N P Q R S Z
Wir wissen, dass es unmöglich ist, ein Element der Gruppe oder eine nachfolgende Aktion der Gruppe zu finden, die:
G in G verwandeln kann
da ihre Größen unterschiedlich sind. Wir entscheiden, ihre Größen als Massen zu bezeichnen, sodass G und G wie Teilchen, Objekte, Atome mit unterschiedlichen Massen sind. Jetzt hängt es von der Gruppe ab, die auf diese Menge von Objekten wirkt. Wenn ich:
(78)
annehme, dass diese "Welt" mit:
(79)
mit einem bestimmten Spektrum von Größen (Massen) und Winkeln gefüllt ist. Wenn ich Gruppenaktionen ausführe, egal welche, werde ich niemals Objekte finden, die zum russischen Alphabet gehören:
(80)
Es wird möglich sein, wenn ich die angereicherte Gruppe, die Euklid-Gruppe, verwende:
(80b)
Dann wird meine "Welt" folgendermaßen aussehen:
(81)
Die Gruppe hat das "Zoo" der Buchstaben angereichert. Aber in meinem Zoo ist eines invariant unter Symmetrie, d.h.:
(82)
(83)
(84)
(85)
...Im Allgemeinen ändert jede Symmetrie bezüglich einer Geraden der Ebene, die ein „2D-Spiegel“ ist, nicht die „Natur“ dieses Zeichens
(86)
Ich werde dieses Zeichen ein „Photon“ nennen und die Transformation
(87)
der Materie-Antimaterie-Dualität gleichsetzen. Dann erhalte ich ein globales Zoo:
(88)
Wir könnten Buchstaben gleicher Form (Natur) aber unterschiedlicher Größen (die ihre Energien darstellen) mit der Descartes-Gruppe verknüpfen:
(89)
...Aber wir werden kein vollständiges analoges Modell der Elementarteilchen auf der Grundlage alphabetischer Zeichen konstruieren. Egal, Sie beginnen zu sehen, wohin wir uns bewegen. Gruppen haben sehr einfache Aspekte, aber versteckte Eigenschaften. Diese Eigenschaften hängen von ihren Untergruppen ab, die die Arten erzeugen.
...Die Euklid-Gruppe geht mit einer Euklid-Welt, mit einem Euklid-Zoo einher. Die Tiere der euklidischen Geometrie heißen Kugel, Zylinder, Prismen, Ebene, Gerade, Dreiecke usw. Sie sind invariant unter der Aktion bestimmter Untergruppen. Souriau nennt die Untergruppe, die mit einem Objekt verbunden ist, das einer Art angehört, die Regelmäßigkeit dieses Objekts.
Zum Beispiel sind Kugeln, die um einen bestimmten Punkt O zentriert sind, invariant unter der Aktion der Untergruppe der Drehungen um diesen Punkt.
-
Wir können betrachten, dass die Eigenschaft, invariant zu sein, eine Eigenschaft der Art „Kugeln, die um einen Punkt O zentriert sind“ ist.
-
Umgekehrt können wir betrachten, dass diese Eigenschaft die Art definiert.
Index Theorie der dynamischen Gruppen
Originalversion (Englisch)
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Components of a group.
We have considered two groups : SO(2) and O(2). The second contains the first.
The first contains the neutral element. We can figure the elements of the group as follows :
(73) .
The elements of the first component form a group (a sub-group).
The elements of the second group do not form a group, for many reasons :
- It does not contain the neutral elements **1.
**- we can pick two matrices in this second component, whose product does not belong to this second component. Example :
(74)
The component of the group which contains the neutral element 1 is called the
neutral component of the group.
In the following we will consider groups with 2, 4, 8 components.
The Euclid's group.
We can now integrate this extended, enriched group, to 2d- translation, and we get :
(75)
and the corresponding action of this Euclid's group :
(76)
Suppose we use our group to manipulate, to rule, to study alphabetic letters.
Limit the set to : A B C D E F G J K L N P Q R S Z
We have several sizes :
(77) A B C D E F G J K L N P Q R S Z A B C D E F G J K L N P Q R S Z
A B C D E F G J K L N P Q R S Z
We know that we cannot find any element of the group, and a subsequent group's action, which can transform :
G into G
for their sizes are different. We decide to call their sizes *masses *so that G and G are similar to particules, objects, atoms, who own different masses. Now, depends on the group which acts on this set of objects. If I use :
(78)
assume this "world" is filled by :
(79)
with a certain spectrum of sizes (masses) and angles. If I operate group actions, whetever they are, I will never find objects which belong to the russian alphabet :
(80)
It will be possible if I take the enriched group, the Euclid's group :
(80b)
Then my "world" will become :
(81)
The group has enriched the letters' "zoo". But in my zoo, one is invariant by symmetry, i.e :
(82)
(83)
(84)
(85)
...In general, any symetry with respect to any straight line of the plane, which is a "2d mirror", does not change the "nature" of this character
(86)
I will call this character a "photon" and will assimilate the transform
(87)
to the matter anti-matter duality. Then I get a global zoo :
(88)
We could link letters of same shape (nature) but different sizes (representing their energies), using Descartes'group:
(89)
...But we are not going to build a complete analogical model of elementary particles, based on alphabetical characters. Anyway, you begin to see were we tend to go. Group have very simple aspects, but hidden properties. These properties depend on their sub-groups, which fathers species.
...Euclid's group goes with an Euclid's world, with Euclid's zoo. The animals of euclidean geometry are called sphere, cylinder, prisms, plane, straight line, triangles, en so on. The are invariant under some sub-group action. Souriau calls the sub-group linked to a an object, which belongs to a species, the **regularity **of this object.
For an example spheres centered on a given point O are invariant through the sub-group of rotations around this point.
-
We can consider that the fact to be invariant is a property of the species called "spheres centered on a point O".
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Conversely we can consider that this property *defines *the species.